算例丨用有限元算出"波动"（附APDL）

在网络论坛和甚至正式的学术会议中，关于结构动力学中的“波动方法”都是一个热点话题。尤其是其与工程上常用的以模态叠加法为基础的“振动方法”之间的区别和联系，更是值得深入玩味。其中有许多非常有意思的论点，有些来自于直观的工程经验，有些来自于对公式的粗略检视。比如，有的观点认为波动方法只能分析无 界(无限大)结构的动力学行为，而振动方法只能分析有界(有限)结构的动力学行为。又有些观点认为有限结构在高频段就必须考虑“波动效应”，但什么是“波动效应”却语焉不详。实际上，“振动”方法和“波动”方法只是同一个问题的两种不同理解思路而已。换言之，他们都可以计算有界和无 界结构在低频和高频动力学特性。为了说明这个观点，更好地辨析和理解“波动”和“振动”，最直接的办法是进行一些计算，看看所得的结果是否与预期相同。这也是本系列文章的目的。这里给出第一个算例。

算例目的

说明如下论点，即有限结构上也能出现“波动”现象，而这一现象的由最常规的“振动”分析方法获得。可以理解为“站在振动的立场上看波动”。为此，我们一个有限的结构，施加瞬态力载荷，并用有限元方法计算其瞬态响应。

概念约定

将以模态叠加法和动力刚度法为基础的结构响应求解方法称为“振动”方法，它们用一系列频率上离散的“模态”来刻画系统的固有特性；

将以傅里叶变换法为基础的结构响应求解方法称为“波动”方法，它们用“波数空间”(wave number space)来刻画系统的固有特性。

算例参数

载荷：坐标原点处，沿Y方向的集中力载荷，其时间历程为：

   

此算例中，频率

   

计算软件：ANSYS

计算参数：瞬态动力学，完全法，计算时间范围：

   

计算结果

在瞬态动力学计算后，结构随时间的变形为：

   
   

分别选择激振点（x=0）和左侧传播路径上的一点（x=x0），绘出它们的时序响应，如下图：

   
   

红线：激振力时序历程

绿线：原点处的速度历程

蓝线：X负方向上一点的速度历程

讨论：这是一个在有限域上进行的瞬态计算，激振力只按照正弦形式持续了1个周期，后续的过程既可以理解为自由振动，也可以理解为波的传导。除了结构的振动，在结果中我们发现了较为典型的“波动”现象，尤其在波动尚未传递到边界时。而通过最后绘制的两个离激振点不同距离的点，绘制了它们的响应时程，更是清晰地发现了由于波传播引起的“滞后”现象。

由此可见，“波动”并不是什么特殊的现象，首先它可以发生在有限的结构上，其次波动现象可以由常规的结构动力学分析方法得到，诸如“因为我们用了有限元，有限元是振动方法，所以我们无法分析波动”这样的说法是不成立的。

这次计算是若干年前做的了，在计算之前与当时同一个实验室的同学打赌，让大家猜计算的结果大概长什么样子，猜错的请猜对的人吃饭。结果有些同学说一开始结构的所有点就会参与响应，有些甚至断言所有的点会以相同的相位响应。我虽然觉得应该是有一些部分先变形，另一些部分后变形，但是不确信这样的特性能否由ANSYS(有限元)这样的“振动”分析工具计算出来。其实现在想想，有限元哪里是什么“振动”分析工具，有限元就是一个普遍的动力响应分析工具，很多基于“波动”理论的方法也是以有限元为起点的。

感兴趣的话可以把APDL拿去跑一跑，多算一些时间，换一个更低/高的频率，再计算看看。