小木匠带大家读麦克斯韦方程组
小木匠语录：自从研读了 长尾的关于麦克斯韦方程组的两篇文章后，受益颇深，也感到惭愧。这么多年来，一直在和麦克斯韦打交道。只是解方程组的工作交给了仿真软件。有时候常常在想，如果仿真软件没有了，我这么多年来做的东西还有意义吗？我还能够设计出我想要的东西吗？
感谢长尾的豁达，授予5G射频圈儿的转载权。这篇不过瘾，可以接着读长尾的文章。哈哈。让你从此见了麦克斯韦就害怕。
今天，小木匠带着大家先学习一下 Maxwell Equation。
全文总共约9000字，阅读需要约10分钟，如果没时间请直接跳至末尾看结论，如果觉得中文不过瘾，点击阅读原文，看英文。
文章内容提示：
麦克斯韦方程简介
麦克斯韦方程的数学基础
麦克斯韦方程组的组成
简单概括麦克斯韦方程
课程原文请点击阅读原文获取. 这篇文章很适合像小木匠这样数学不好的同学阅读。麦克斯韦方程是一组描述电磁学世界的4个复杂方程。这些方程描述了电场和磁场如何传播、相互作用，以及它们如何受到物体的影响。
詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（James Clerk Maxwell）[1831-1879]是爱因斯坦/牛顿级别的天才，他采用了一组已知的实验定律（法拉第定律、安培定律），并将它们统一成一组对称的相干方程，称为麦克斯韦方程。麦克斯韦是最早确定电磁波传播速度与光速相同的人之一，因此得出结论：电磁波和可见光实际上是同一回事。
麦克斯韦方程是理解天线和电磁学的关键。它们看起来非常复杂，以至于大多数电子工程师和物理学家都不知道它们的真正含义。被复杂的数学所笼罩（人们在讨论这些问题时可能会觉得自己很聪明），很难真正理解这些方程。
如果可能的话，我将避免出现数学困难，而是描述方程的含义。别害怕，数学太复杂了，那些真正理解复杂向量演算的人，除了最简单的情况外，仍然无法应用麦克斯韦方程。因此，麦克斯韦方程的直观知识远远优于基于数学操作的知识。要了解这个世界，你必须了解方程的含义，而不仅仅是了解数学结构。我相信教授电磁学和麦克斯韦方程的公认方法不能产生理解。接下来，我们来谈谈这些方程。麦克斯韦方程是定律，就像重力定律一样。这些方程是宇宙用来控制电场和磁场行为的规则。电流的流动会产生磁场。如果电流随时间变化（如在任何波或周期信号中），磁场也会产生电场。麦克斯韦方程表明，分离电荷（正电荷和负电荷）会产生一个电场——如果这个电场在时间上发生变化，也会产生一个传播电场，进而产生一个支撑磁场。
要比大多数工程学或物理学博士更直观地理解麦克斯韦方程，请点击上面的链接和定义。你会发现复杂的数学掩盖了这些方程内在的优雅——你会了解宇宙是如何操作电磁机器的。
这个散度算子就是上图 麦克斯韦方程组中的那个倒三角和点组成的符号首先散度的定义即是：点（x，y，z）处的散度是该点周围曲面的矢量流的度量。也就是说，假设一个向量场代表水流。如果散度是一个正数，这意味着水从这个点流出（就像一个水嘴-这个位置被认为是一个源头）。如果散度是一个负数，那么水就流入这个点（就像一个排水沟-这个位置被称为水槽）。
我将举一些例子来说明这一点。首先，假设我们有一个向量场（由向量函数a给出），如图1所示，我们想知道P点的散度是多少：
我们还画了一个围绕点P的假想表面。现在想象向量A代表水流。那么，如果你把从地表流出的水量加起来，这个量会是正数吗？答案是肯定的：水在S表面的每个位置都从表面流出。因此，我们可以说P的散度是正的。
再举一个简单的例子，如图2所示。我们在点P周围有一个新的向量场B：在图2中，如果我们想象水的流动，我们会看到P点像一个排水沟或水槽。在这种情况下，流出表面的气流是负的，因此，P处的场B的散度是负的。
很简单，嗯？这里还有几个例子。图3在点周围有一个向量场C：
在图3中，如果C表示水的流量，那么更多的水是流入还是流出地表？在图3的顶部，水从表面流出，但在底部流入。由于场进出表面的流量相等，散度为零。
鉴于您可能玩得很开心，让我们再举两个例子。查看图4：
在图4中，我们有一个绕着点P的向量场D。流是正的（流出表面）还是负的（流入表面）？在沿曲面S的每个点处，场沿曲面切向流动。因此，场不是在每个点流入或流出表面。因此，在P处，我们得到D的散度等于0。
让我们看最后一个例子，图5中的字段E：
向量场E在P点上方有一个大向量，表示那里有一个很强的场，很多水从表面流出。P左边的向量很小，与曲面相切，因此在该点没有流入或流出S的流。P右边的向量也是如此，P下面的向量很小，表示流入地表的水量较小。因此，我们可以猜测散度是正的-流出地表的水比流入地表的水多。
当然如果你的数学比较好的话，请点击阅读原文查看散度的数学定义。小木匠比较懒，不再对数学定义做更多学习。
2.2 旋度和旋度算子
这个旋度算子就是麦克斯韦方程组中式3和式4用到的那个倒三角和x的组合：
旋度是向量场旋转的量度。为了理解这一点，我们将再次使用流动水的类比来表示向量函数（或向量场）。在图1中，我们有一个向量函数（V），我们想知道场是否在D点旋转（也就是说，我们想知道旋度是否为零）。
若要确定场是否旋转，请假设D点处有一个水轮。如果表示水流的矢量场会旋转水轮，则旋度不为零：
在上图中，我们可以看到水轮将顺时针旋转。因此，这个向量场在点D处有一个旋度。
我们现在必须使事情更复杂。图2的旋度是正的还是负的，方向是什么？因为我们观察的是在x-y平面上旋转水车的旋度，所以旋度的方向被认为是z轴（垂直于水车的平面）。此外，卷曲遵循右手法则：如果你的拇指指向+z方向，那么你的右手将沿着正卷曲的方向绕轴卷曲。对于图2，如果水轮以逆时针方向旋转，则旋度为正。如果水车顺时针旋转，旋度将为负值。
在上图中，水轮顺时针旋转。因此，图1中向量场旋度的z分量为负。
你可以想象，旋度也有x和y分量。因此，旋度作用于向量场，结果是三维向量。也就是说，如果我们知道一个向量场，我们就可以计算任意点的旋度，结果就是一个向量（表示x、y和z方向）。
再举一个新的例子。假设图3中的向量场F具有z向场。让 
符号表示+z方向的向量， 
符号表示-z方向的向量：
如果水在轮子周围上下流动，轮子会旋转吗？答案是否定的。当轮子在x-y平面上时，只有x和y方向的向量可以使轮子旋转。因此，可以忽略z向向量场来确定旋度的z分量。
现在，让我们举更多的例子来确保我们理解旋度。关于下图中G点处向量场J的旋度，我们能说些什么？图4中的旋度是正、负还是零？它朝什么方向？首先，由于水车在y-z平面上，旋度的方向（如果不是零）将沿x轴。现在，我们想知道旋度是正的（逆时针旋转）还是负的（顺时针旋转）。
上图中的红色向量在+y方向。但是，它不会旋转水轮，因为它直接指向水轮的中心，不会产生旋转。图4中的绿色向量将尝试沿顺时针方向旋转水轮机，而黑色向量将尝试沿逆时针方向旋转水轮机，因此绿色向量和黑色向量抵消，不产生旋转。但是，棕色矢量将逆时针方向旋转水轮。因此，图4中所有矢量的净效应是逆时针旋转。结果是图4中的旋度是正的，并且在+x方向上。
一般来说，向量场有[x，y，z]个分量。得到的旋度也是一个包含[x，y，z]分量的向量。用水车在三个方向上画三维场是很困难的，但是如果你理解上面的例子，你可以把上面的二维思想推广到三维。现在我们将给出旋度的完整数学定义。下面公式式麦克斯韦方程组的微分形式，详细介绍在长尾的文章内有。我们这边先以小木匠学习的这篇英文文档说起。
高斯定律是麦克斯韦方程的第一个，它决定了电场在电荷周围的行为。高斯定律可以用电通量密度和电荷密度写成：这个就用到了散度算子，大家还不理解的话还可以回到上文再学习。小木匠提示一下：散度就是点（x，y，z）处的散度是该点周围曲面的矢量流的度量。方程[1]以点的形式称为高斯定律。也就是说，方程[1]在空间的任何一点都是正确的。也就是说，如果某个地方存在电荷，那么该点的D的散度是非零的，否则等于零。
为了更直观地了解高斯定律，让我们看一下积分形式的高斯定律。为此，我们假设某个任意卷（我们称之为V）有一个边界（写为S）。然后在体积V上积分方程[1]得到积分形式的高斯定律：我可能说得不太清楚，但让我们很快来看看。以图1为例。我们有一个体积V，就是立方体。曲面S是立方体的边界（即构成体积边界的6个平面）。方程[2]指出，体积V（=封闭电荷）内的电荷量等于从表面S流出的总磁通量（D）。也就是说，要确定离开区域V的磁通量，我们只需要知道体积内有多少电荷。我们用方程[3]中定义的更多项重写方程[2]：上图中的立方体示例可能有助于说明这一点。看看图2中的P点，我们已经画出了D场向量：我们可以根据切向分量和法向分量重写任何字段，如图2所示。从方程[3]中，我们只对D法向（正交或垂直）到曲面S的分量感兴趣，我们把它写成Dn。切向分量Dt沿表面流动。如果你把D场想象成水的流动，那么只有成分Dn会对水有贡献，实际上离开体积Dt只是水绕着表面流动。
因此，高斯定律是一个数学陈述，即任何体积的总电流等于内部的总电荷。因此，如果所讨论的体积内没有电荷，则流出该区域的净电流为零。如果在一个体积内有正电荷，那么在电荷周围的任何体积中都存在正数量的电流。如果一个体积内有负电荷，则存在一个负数量的电通量（即电通量进入该体积）。这有什么关系？高斯定律指出电荷是电场的源或汇。
如果你再次使用水的类比，正电荷会导致一个体积的水流出，这意味着正电荷就像一个水源（一个水龙头——把水抽到一个区域）。相反，负电荷会导致流入一个体积——这意味着负电荷就像一个水槽（磁场流入一个区域并在电荷上终止）。
这给了我们很多关于场在任何场景中的物理行为的直觉。例如，对于电场，这里有可能也有不可能的情况，这是由宇宙在高斯定律中决定的：如果你观察到D场在电荷周围的行为方式，你可能会注意到高斯定律相当于电荷的力方程，这就产生了点电荷的E场方程：方程[4]表明电荷对它们施加力，这意味着存在着远离正电荷和朝向负电荷的电场。这意味着反电荷吸引负电荷排斥。由于D和E与介电常数有关，我们发现高斯定律是电荷力方程的一个更为形式化的表述。
总之，高斯定律意味着以下情况是正确的：
D场在空间任意区域（体积）上的发散量，正好等于该区域中的电荷净额。
不得不佩服高斯的niubility，麦克斯韦方程组，高斯提供了两个重要公式。
你可以看到这两个方程都指定了所讨论的场的散度。对于top方程，我们知道电场的高斯定律表明，磁通密度D的散度等于体积电荷密度。而第二个方程，高斯磁定律表明磁通密度（B）的散度为零。
嗯-是的。但碰巧没有人发现过磁电荷，不是在实验室里，街上或地铁里。因此，在找到这个假设的磁荷之前，我们将磁场的高斯定律的右边设为零：由于B和磁场H与磁导率有关，我们在方程[2]中注意到磁场的散度也是零。
现在，你小时候可能玩过磁铁，这些磁性物体吸引了其他磁铁，就像电荷排斥或吸引电荷一样。然而，这些磁铁有一些特别之处——它们总是有一个积极和消极的结局。这意味着每个磁性物体都是一个磁偶极子，有一个南北极。不管你把磁场分成两半多少次，它只会形成更多的磁偶极子。高斯磁定律指出磁单极子不存在，或者至少我们还没有找到它们。
因为我们知道磁通密度的散度总是零，所以我们现在对这些磁场的行为有了一点了解。我将举几个合法和非法磁场的例子，这是高斯定律对磁场的结果：总之，麦克斯韦方程组的第二个——高斯磁性定律——意味着：
离开磁偶极子，磁场在一个闭环中流动。这是真的，即使是平面波，恰好有一个无限半径的环。
这就是磁场的高斯定律。如果你理解高斯电场定律，这不是很复杂。
终于轮到天才法拉第出场了，目前比较火的号线式贾忽悠的法拉第未来，有损法拉第的英明。此罪当煮。法拉第是一位科学家，早在19世纪30年代就开始试验电路和磁线圈。他的实验装置导致了法拉第定律，如图1所示：实验本身有点简单。当电池断开时，我们没有电流流过电线。因此，铁（磁芯）内没有感应磁通量。铁就像一条通向磁场的高速公路——它们很容易流过磁性物质。所以磁芯的作用是为磁通量创造一条路径。
当开关闭合时，电流将在连接到蓄电池的导线内流动。当电流流动时，它有一个相关的磁场（或磁通量）。当导线缠绕在磁芯的左侧（如图1所示）时，磁芯内会产生磁场（磁通量）。这种磁通量绕着磁芯移动。所以左边的接线线圈产生的磁通量存在于右边的接线线圈中，它与电流表相连。
现在，一件有趣的事情发生了，法拉第观察到了。当他关闭开关时，电流会开始流动，电流表会单向尖峰（比如测量另一侧的+10安培）。但这是非常短暂的，右边线圈上的电流将归零。当开关断开时，测量的电流会向另一侧尖峰（比如说，将测量-10安培），然后右侧的测量电流将再次为零。
法拉第知道发生了什么。当开关最初从开到关时，磁芯内的磁通量从零增加到某个最大值（这是一个恒定值，随时间变化）。当磁通量增加时，在磁通的另一侧存在感应电流。
同样，当开关打开时，磁芯中的磁通量也会从它的恒定值减小到零。因此，磁芯内的磁通量减少会在右侧产生相反的电流。
法拉第发现，电路（或导线的闭环）内的磁通量变化会产生感应电动势或电路内的电压。他这样写道：在方程[2]中， 
磁通量是电路内的磁通量，而电动势是电动力，基本上是电压源。方程[2]表明电路中的感应电压与磁通量的时间变化率相反。有关衍生工具的详细信息，请参阅“部分衍生工具”页。
方程[2]被称为Lenz定律。伦兹是找出负号的人。我们知道电流会产生磁场，但多亏了法拉第，我们也知道回路中的磁场会产生电流。宇宙喜欢对称性，麦克斯韦方程有很多对称性。
现在，我们得到了方程[2]的实验结果，我们如何从这个结果到方程[1]中法迪定律的标准形式？很高兴你问我。让我们想象一个简单的循环，其中有一个时变的B字段：我们知道，总磁通量的变化率等于电动势的反方向，即导线内的电力。总磁通量只是导线所包围区域上B场的积分（或和）：
为了求出整个电路周围感应的总电动势，我们把每一点产生的电动势加在电线的长度上。这就是所谓的线积分。本文写成：现在，回想一下，电场与电荷产生的力直接相关。电压也被定义为路径上电场的总和（积分）[回想一下，电场是以伏特/米为单位测量的]。因此，电场实际上是电压的空间导数（电场等于电压相对于距离的变化率）。这些事实总结如下：因此，方程[4]和[5]告诉我们，沿着电路的任何点（在[4]中为dEMF）的EMF微分量等于该位置的E场。因此：现在，一些数学家Stokes发现，在一个环上积分（平均）一个场就等于在环内积分这个场的旋度。这对你来说应该有一个直观的事实：旋度是场旋转的量度，因此曲面内向量场的旋度应该与围绕曲面的环的场的积分有关。如果没有意义，请多想想，或者接受以下事实（因为它是真的——不仅是E字段，而且是任何字段）：现在我们就快到了。如果我们用方程[3]和方程[7]中的项替换方程[2]的Farday定律，那么我们得到：在方程[8]中，我们注意到如果我们在曲面上有两个积分，并且曲面可以是我们选择的，那么我们积分的量也必须是相同的。这就是我们如何得到法拉第定律的最终形式，如麦克斯韦方程所列！
法拉第定律表明，回路中磁场的变化会产生感应电流，感应电流是由回路中的力或电压引起的。我们可以这样说法拉第定律：
随着时间的推移，一个循环的电场会产生一个随时间变化的磁场。
法迪定律是非常强大的，因为它显示了宇宙是多么热爱对称。如果电流产生磁场，磁场就会产生电流。空间中的E场的变化会导致时间上的B场的变化。当我们继续看麦克斯韦方程的最后一个，安培定律，我们会看到更多的对称性！
式4 安培定律
安培是一位科学家，他在试验载电流的电线上的力。早在19世纪20年代，他就在做这些实验，几乎和法迪研究法拉第定律的时间一样。安培和法迪不知道，大约40年后，麦克斯韦自己会把工作统一起来。
电线上的力量对我来说不是特别有趣，因为在我的工作过程中，我从来没有机会使用非常复杂的方程式（包括博士学位，在国家实验室的一些工作，以及国防和消费电子行业的就业）。所以，我将首先介绍安培定律，它涉及电流和围绕它的磁场：方程[2]可以解释为：假设有一个导体（导线）携带电流，那么这个电流产生一个绕导线旋转的磁场。
方程[2]的左边是指：如果你沿着环绕导线的任何一条假想路径，把沿着该路径的每一点的磁场相加，那么它将在数值上等于被该路径环绕的电流量（这就是为什么我们把环绕电流写为环绕电流或环绕电流的原因）。
让我们做一个有趣的例子。假设我们有一根长电线，它承载着恒定的电流，I[安培]。距离导线任意距离r[米]时，导线周围的磁场是多少？
让我们看看图1中的图表。我们有一根载电流为安培的长电线。我们想知道在距离导线r的地方磁场是多少。所以我们在电线周围画了一条假想的路径，这是图1右边的蓝色虚线：
安培定律[方程式2]指出，如果我们沿着这条蓝色路径把磁场加起来（积分），那么在数值上这应该等于封闭电流I。
现在，由于对称性，磁场在距离导线r处是均匀的（不是变化的）。图1中蓝色路径的路径长度等于半径r的圆的周长。
如果我们把磁场的一个常数相加（我们称之为H），那么方程[2]的左边就变得简单了：因此，我们已经知道了H场的大小。既然r是任意的，我们知道H场在哪里。方程[3]指出，当你远离导线时（由于1/r项），磁场的大小会减小。
所以我们用安培定律（方程式[2]）来计算绕着电线的磁场的大小。然而，H场是向量场，这意味着在每个位置is都有一个量值和一个方向。H场的方向与虚环相切，如图2所示。右手法则决定磁场的方向：我们要用斯托克定理做同样的技巧，就像我们在看法拉第定律时做的一样。我们可以重写方程式[2]中的安培定律：
在方程[4]的右边等式中，我们利用Stokes定理将一个闭合环周围的线积分，通过环所包围的曲面，转化为同一场的旋度。我们还可以将总电流（I）重写为电流密度（J）的表面积分：
现在我们用表面积分（方程[4]和[5]）重写了原来的安培定律（方程[2]）。因此，我们可以把它们放在一起，得到安培定律的一种新形式：
现在，我们有了一种新的安培定律：磁场的旋度等于电流密度。如果你是一个聪明的学习者，你可能会注意到方程式[6]不是最后的形式，它是写在方程式[1]中的。方程[6]有一个问题，但直到19世纪60年代，詹姆斯·克拉克·麦克斯韦才发现这个问题，并把电磁学与麦克斯韦方程统一起来。至此，麦克斯韦方程全部讲完，不知道小伙伴们对麦克斯韦方程组有没有加深印象。没有的话，继续往下看：到目前为止，我已经单独讨论了麦克斯韦方程。在这一页上，我想再次给出他们的概述-没有数学-并解释他们作为一个整体的含义。
4.1高斯定律
高斯定律等价于电荷的力方程：相似电荷相互排斥，相反电荷（正电荷和负电荷）相互吸引。
高斯定律还说电场线偏离电荷。这意味着正电荷是电场的来源（就像水龙头是水源一样）。高斯定律是指负电荷作为电场的水槽（水通过水槽孔排出或离开一个区域的方式）。这意味着电场线在充电时开始和停止。
4.2磁学高斯定律
麦克斯韦的第二个方程表示磁单极子不存在。当我们有电荷（电单极子）时，我们从未发现磁等价物——磁电荷或磁单极子。这个方程表明磁场倾向于环绕物体，因为散度为零，磁场倾向于形成闭合环。
4.3法拉第定律
法拉第定律告诉我们，随着时间变化的磁场会产生一个循环的电子场。这意味着我们有两种产生电场的方法——从电荷（或流动电荷、电流）或从正在变化的磁场。
4.4安培定律
安培定律告诉我们，流动的电流产生一个绕着电线的磁场。除此之外，它还说随着时间变化的电场会产生一个围绕着电场的磁场——这是麦克斯韦自己提出的位移电流项。
这意味着有两种方法可以产生一个螺线管（循环）H-场-一个流动的电流或一个变化的电场。两者都会产生同样的现象。
总的来说，麦克斯韦方程是什么意思？
前两种主要用于直流电，即当所有电压和电流都是恒定的，且没有随时间变化的情况下。这些在我看来不太重要，事实上，它们可以从第二组方程中导出。因此，这是后两个版本的一个较弱的版本。
第三和第四个方程确实规定了电场和磁场的规则。例如，在一种被称为时域有限差分法（FDTD）的电磁学解算器中，只有后两个方程用于E场和H场的数值求解。前两个不需要。
让我们来看看第三和第四个方程，这两个简洁的陈述支配了所有的E场和H场传播：
法拉第定律说，变化的磁场产生一个旋转的电场。现在，宇宙中的事物不会持续增长或持续收缩——它们会振荡（以平均值上下移动）。这意味着磁场先增大后减小，这意味着电场在一个不断变化的磁场周围来回缠绕。这意味着电场也在随时间变化。
现在看看安培定律。这意味着一个变化的电场会产生一个旋转的磁场。同样地，电场也会在时间上振荡，环绕磁场也会在时间上变化。
让我们想想最后两段。不断变化的磁场产生不断变化的电场。而不断变化的电场会产生不断变化的磁场——磁场本身会产生不断变化的电场，从而产生。。。。。
这是什么？这种现象称为传播。这就是电磁波传播的原因。这是一个永恒的运动轮，它使太阳光在真空中传播，而不需要任何介质。从这两个方程中我们可以确定所有传播的波都以单一的速度传播，即光速。这个速度可以直接由麦克斯韦方程中的常数决定。
每一种电磁形式或辐射——可见光、x射线、加热地球的太阳光、无线电波、电视波、wifi信号、蓝牙信号、手机传输和GPS——都完全由电场和磁场组成。你所需要知道的关于它们如何传播和与物质相互作用的一切，都完全由上述两个方程决定，这两个方程在19世纪60年代由詹姆斯·克拉克·麦克斯韦统一解释。
让我们记住这个人詹姆斯·克拉克·麦克斯韦
End...
今天这篇文章整理的好累。如果哪里不好，不是小木匠的原因，百度翻译的责任。在这篇英文文献的学习中，百度翻译帮了小木匠大忙。感谢。 
