我们都应该懂麦克斯韦方程
现在无线通信离不开麦克斯韦的贡献，对于麦克斯韦方程，我觉得读在多遍都不为过。今天我们再次学习下麦克斯韦方程组。看看这次能否完完整整的掌握住。刚好最近得到一篇 麦克斯韦的原著电子版，分享于文末，请至文末查看下载。
全文总共约9000字，阅读需要约10分钟，如果没时间请直接跳至末尾看结论，如果觉得中文不过瘾，点击阅读原文，看英文。
文章内容提示：
麦克斯韦方程简介
麦克斯韦方程的数学基础
麦克斯韦方程组的组成
简单概括麦克斯韦方程
一，Maxwell Equation 简介
麦克斯韦方程是一组描述电磁学世界的4个复杂方程。这些方程描述了电场和磁场如何传播、相互作用，以及它们如何受到物体的影响。
詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（James Clerk Maxwell）[1831-1879]是爱因斯坦/牛顿级别的天才，他采用了一组已知的实验定律（法拉第定律、安培定律），并将它们统一成一组对称的相干方程，称为麦克斯韦方程。麦克斯韦是最早确定电磁波传播速度与光速相同的人之一，因此得出结论：电磁波和可见光实际上是同一回事。
麦克斯韦方程是理解天线和电磁学的关键。它们看起来非常复杂，以至于大多数电子工程师和物理学家都不知道它们的真正含义。被复杂的数学所笼罩（人们在讨论这些问题时可能会觉得自己很聪明），很难真正理解这些方程。
如果可能的话，我将避免出现数学困难，而是描述方程的含义。别害怕，数学太复杂了，那些真正理解复杂向量演算的人，除了最简单的情况外，仍然无法应用麦克斯韦方程。因此，麦克斯韦方程的直观知识远远优于基于数学操作的知识。要了解这个世界，你必须了解方程的含义，而不仅仅是了解数学结构。我相信教授电磁学和麦克斯韦方程的公认方法不能产生理解。接下来，我们来谈谈这些方程。
麦克斯韦方程是定律，就像重力定律一样。这些方程是宇宙用来控制电场和磁场行为的规则。电流的流动会产生磁场。如果电流随时间变化（如在任何波或周期信号中），磁场也会产生电场。麦克斯韦方程表明，分离电荷（正电荷和负电荷）会产生一个电场——如果这个电场在时间上发生变化，也会产生一个传播电场，进而产生一个支撑磁场。
要比大多数工程学或物理学博士更直观地理解麦克斯韦方程，请点击上面的链接和定义。你会发现复杂的数学掩盖了这些方程内在的优雅——你会了解宇宙是如何操作电磁机器的。
二，Maxwell Equation 的数学基础
2.1 散度和散度算子
这个散度算子就是上图 麦克斯韦方程组中的那个倒三角和点组成的符号
文章尽可能的不用数学方法去描述这个散度算子：
首先散度的定义即是：点（x，y，z）处的散度是该点周围曲面的矢量流的度量。也就是说，假设一个向量场代表水流。如果散度是一个正数，这意味着水从这个点流出（就像一个水嘴-这个位置被认为是一个源头）。如果散度是一个负数，那么水就流入这个点（就像一个排水沟-这个位置被称为水槽）。
我将举一些例子来说明这一点。首先，假设我们有一个向量场（由向量函数a给出），如图1所示，我们想知道P点的散度是多少：
我们还画了一个围绕点P的假想表面。现在想象向量A代表水流。那么，如果你把从地表流出的水量加起来，这个量会是正数吗？答案是肯定的：水在S表面的每个位置都从表面流出。因此，我们可以说P的散度是正的。
再举一个简单的例子，如图2所示。我们在点P周围有一个新的向量场B：
在图2中，如果我们想象水的流动，我们会看到P点像一个排水沟或水槽。在这种情况下，流出表面的气流是负的，因此，P处的场B的散度是负的。
很简单，嗯？这里还有几个例子。图3在点周围有一个向量场C：
在图3中，如果C表示水的流量，那么更多的水是流入还是流出地表？在图3的顶部，水从表面流出，但在底部流入。由于场进出表面的流量相等，散度为零。
鉴于您可能玩得很开心，让我们再举两个例子。查看图4：
在图4中，我们有一个绕着点P的向量场D。流是正的（流出表面）还是负的（流入表面）？在沿曲面S的每个点处，场沿曲面切向流动。因此，场不是在每个点流入或流出表面。因此，在P处，我们得到D的散度等于0。
让我们看最后一个例子，图5中的字段E：
向量场E在P点上方有一个大向量，表示那里有一个很强的场，很多水从表面流出。P左边的向量很小，与曲面相切，因此在该点没有流入或流出S的流。P右边的向量也是如此，P下面的向量很小，表示流入地表的水量较小。因此，我们可以猜测散度是正的-流出地表的水比流入地表的水多。
当然如果你的数学比较好的话，请点击阅读原文查看散度的数学定义。小木匠比较懒，不再对数学定义做更多学习。
2.2 旋度和旋度算子
这个旋度算子就是麦克斯韦方程组中式3和式4用到的那个倒三角和x的组合：
旋度是向量场旋转的量度。为了理解这一点，我们将再次使用流动水的类比来表示向量函数（或向量场）。在图1中，我们有一个向量函数（V），我们想知道场是否在D点旋转（也就是说，我们想知道旋度是否为零）。
若要确定场是否旋转，请假设D点处有一个水轮。如果表示水流的矢量场会旋转水轮，则旋度不为零：
在上图中，我们可以看到水轮将顺时针旋转。因此，这个向量场在点D处有一个旋度。
我们现在必须使事情更复杂。图2的旋度是正的还是负的，方向是什么？因为我们观察的是在x-y平面上旋转水车的旋度，所以旋度的方向被认为是z轴（垂直于水车的平面）。此外，卷曲遵循右手法则：如果你的拇指指向+z方向，那么你的右手将沿着正卷曲的方向绕轴卷曲。对于图2，如果水轮以逆时针方向旋转，则旋度为正。如果水车顺时针旋转，旋度将为负值。
在上图中，水轮顺时针旋转。因此，图1中向量场旋度的z分量为负。
你可以想象，旋度也有x和y分量。因此，旋度作用于向量场，结果是三维向量。也就是说，如果我们知道一个向量场，我们就可以计算任意点的旋度，结果就是一个向量（表示x、y和z方向）。
再举一个新的例子。假设图3中的向量场F具有z向场。让
符号表示+z方向的向量，
符号表示-z方向的向量：
如果水在轮子周围上下流动，轮子会旋转吗？答案是否定的。当轮子在x-y平面上时，只有x和y方向的向量可以使轮子旋转。因此，可以忽略z向向量场来确定旋度的z分量。
现在，让我们举更多的例子来确保我们理解旋度。关于下图中G点处向量场J的旋度，我们能说些什么？
图4中的旋度是正、负还是零？它朝什么方向？首先，由于水车在y-z平面上，旋度的方向（如果不是零）将沿x轴。现在，我们想知道旋度是正的（逆时针旋转）还是负的（顺时针旋转）。
上图中的红色向量在+y方向。但是，它不会旋转水轮，因为它直接指向水轮的中心，不会产生旋转。图4中的绿色向量将尝试沿顺时针方向旋转水轮机，而黑色向量将尝试沿逆时针方向旋转水轮机，因此绿色向量和黑色向量抵消，不产生旋转。但是，棕色矢量将逆时针方向旋转水轮。因此，图4中所有矢量的净效应是逆时针旋转。结果是图4中的旋度是正的，并且在+x方向上。
一般来说，向量场有[x，y，z]个分量。得到的旋度也是一个包含[x，y，z]分量的向量。用水车在三个方向上画三维场是很困难的，但是如果你理解上面的例子，你可以把上面的二维思想推广到三维。现在我们将给出旋度的完整数学定义。
剩下的加减乘除偏微分，就不用小木匠一一叙述了吧
那么下面来看麦克斯韦方程的组成和意义
三，Maxwell Equation 的组成
下面公式式麦克斯韦方程组的微分形式，详细介绍在长尾的文章内有。我们这边先以小木匠学习的这篇英文文档说起。
式1 高斯电定律
高斯定律是麦克斯韦方程的第一个，它决定了电场在电荷周围的行为。高斯定律可以用电通量密度和电荷密度写成：
这个就用到了散度算子，大家还不理解的话还可以回到上文再学习。
小木匠提示一下：散度就是点（x，y，z）处的散度是该点周围曲面的矢量流的度量。
方程[1]以点的形式称为高斯定律。也就是说，方程[1]在空间的任何一点都是正确的。也就是说，如果某个地方存在电荷，那么该点的D的散度是非零的，否则等于零。
为了更直观地了解高斯定律，让我们看一下积分形式的高斯定律。为此，我们假设某个任意卷（我们称之为V）有一个边界（写为S）。然后在体积V上积分方程[1]得到积分形式的高斯定律：
我可能说得不太清楚，但让我们很快来看看。以图1为例。我们有一个体积V，就是立方体。曲面S是立方体的边界（即构成体积边界的6个平面）。
方程[2]指出，体积V（=封闭电荷）内的电荷量等于从表面S流出的总磁通量（D）。也就是说，要确定离开区域V的磁通量，我们只需要知道体积内有多少电荷。我们用方程[3]中定义的更多项重写方程[2]：
上图中的立方体示例可能有助于说明这一点。看看图2中的P点，我们已经画出了D场向量：
我们可以根据切向分量和法向分量重写任何字段，如图2所示。从方程[3]中，我们只对D法向（正交或垂直）到曲面S的分量感兴趣，我们把它写成Dn。切向分量Dt沿表面流动。如果你把D场想象成水的流动，那么只有成分Dn会对水有贡献，实际上离开体积Dt只是水绕着表面流动。
因此，高斯定律是一个数学陈述，即任何体积的总电流等于内部的总电荷。因此，如果所讨论的体积内没有电荷，则流出该区域的净电流为零。如果在一个体积内有正电荷，那么在电荷周围的任何体积中都存在正数量的电流。如果一个体积内有负电荷，则存在一个负数量的电通量（即电通量进入该体积）。
这有什么关系？高斯定律指出电荷是电场的源或汇。
如果你再次使用水的类比，正电荷会导致一个体积的水流出，这意味着正电荷就像一个水源（一个水龙头——把水抽到一个区域）。相反，负电荷会导致流入一个体积——这意味着负电荷就像一个水槽（磁场流入一个区域并在电荷上终止）。
这给了我们很多关于场在任何场景中的物理行为的直觉。例如，对于电场，这里有可能也有不可能的情况，这是由宇宙在高斯定律中决定的：
如果你观察到D场在电荷周围的行为方式，你可能会注意到高斯定律相当于电荷的力方程，这就产生了点电荷的E场方程：
方程[4]表明电荷对它们施加力，这意味着存在着远离正电荷和朝向负电荷的电场。这意味着反电荷吸引负电荷排斥。由于D和E与介电常数有关，我们发现高斯定律是电荷力方程的一个更为形式化的表述。
总之，高斯定律意味着以下情况是正确的：
D和E磁力线偏离正电荷
D和E场线向负电荷方向发散
D、E场线带电起停
反电荷吸引负电荷排斥
D场在空间任意区域（体积）上的发散量，正好等于该区域中的电荷净额。
式2 高斯磁定律
不得不佩服高斯的niubility，麦克斯韦方程组，高斯提供了两个重要公式。
那么我们接着来讲一下公式2，高斯磁定律
你可以看到这两个方程都指定了所讨论的场的散度。对于top方程，我们知道电场的高斯定律表明，磁通密度D的散度等于体积电荷密度。而第二个方程，高斯磁定律表明磁通密度（B）的散度为零。
为什么？为什么B的散度不等于磁荷密度？
嗯-是的。但碰巧没有人发现过磁电荷，不是在实验室里，街上或地铁里。因此，在找到这个假设的磁荷之前，我们将磁场的高斯定律的右边设为零：
由于B和磁场H与磁导率有关，我们在方程[2]中注意到磁场的散度也是零。
现在，你小时候可能玩过磁铁，这些磁性物体吸引了其他磁铁，就像电荷排斥或吸引电荷一样。然而，这些磁铁有一些特别之处——它们总是有一个积极和消极的结局。这意味着每个磁性物体都是一个磁偶极子，有一个南北极。不管你把磁场分成两半多少次，它只会形成更多的磁偶极子。高斯磁定律指出磁单极子不存在，或者至少我们还没有找到它们。
因为我们知道磁通密度的散度总是零，所以我们现在对这些磁场的行为有了一点了解。我将举几个合法和非法磁场的例子，这是高斯定律对磁场的结果：
总之，麦克斯韦方程组的第二个——高斯磁性定律——意味着：
磁单极不存在
在任何体积中，B或H场的散度总是为零
离开磁偶极子，磁场在一个闭环中流动。这是真的，即使是平面波，恰好有一个无限半径的环。
这就是磁场的高斯定律。如果你理解高斯电场定律，这不是很复杂。
式3 法拉第定律
终于轮到天才法拉第出场了，目前比较火的号线式贾忽悠的法拉第未来，有损法拉第的英明。此罪当煮。
直接贴公式法拉第电磁感应定律：
法拉第是一位科学家，早在19世纪30年代就开始试验电路和磁线圈。他的实验装置导致了法拉第定律，如图1所示：
实验本身有点简单。当电池断开时，我们没有电流流过电线。因此，铁（磁芯）内没有感应磁通量。铁就像一条通向磁场的高速公路——它们很容易流过磁性物质。所以磁芯的作用是为磁通量创造一条路径。
当开关闭合时，电流将在连接到蓄电池的导线内流动。当电流流动时，它有一个相关的磁场（或磁通量）。当导线缠绕在磁芯的左侧（如图1所示）时，磁芯内会产生磁场（磁通量）。这种磁通量绕着磁芯移动。所以左边的接线线圈产生的磁通量存在于右边的接线线圈中，它与电流表相连。
现在，一件有趣的事情发生了，法拉第观察到了。当他关闭开关时，电流会开始流动，电流表会单向尖峰（比如测量另一侧的+10安培）。但这是非常短暂的，右边线圈上的电流将归零。当开关断开时，测量的电流会向另一侧尖峰（比如说，将测量-10安培），然后右侧的测量电流将再次为零。
法拉第知道发生了什么。当开关最初从开到关时，磁芯内的磁通量从零增加到某个最大值（这是一个恒定值，随时间变化）。当磁通量增加时，在磁通的另一侧存在感应电流。
同样，当开关打开时，磁芯中的磁通量也会从它的恒定值减小到零。因此，磁芯内的磁通量减少会在右侧产生相反的电流。
法拉第发现，电路（或导线的闭环）内的磁通量变化会产生感应电动势或电路内的电压。他这样写道：
在方程[2]中，
磁通量是电路内的磁通量，而电动势是电动力，基本上是电压源。方程[2]表明电路中的感应电压与磁通量的时间变化率相反。有关衍生工具的详细信息，请参阅“部分衍生工具”页。
方程[2]被称为Lenz定律。伦兹是找出负号的人。我们知道电流会产生磁场，但多亏了法拉第，我们也知道回路中的磁场会产生电流。宇宙喜欢对称性，麦克斯韦方程有很多对称性。
现在，我们得到了方程[2]的实验结果，我们如何从这个结果到方程[1]中法迪定律的标准形式？很高兴你问我。让我们想象一个简单的循环，其中有一个时变的B字段：
我们知道，总磁通量的变化率等于电动势的反方向，即导线内的电力。总磁通量只是导线所包围区域上B场的积分（或和）：
为了求出整个电路周围感应的总电动势，我们把每一点产生的电动势加在电线的长度上。这就是所谓的线积分。本文写成：
现在，回想一下，电场与电荷产生的力直接相关。电压也被定义为路径上电场的总和（积分）[回想一下，电场是以伏特/米为单位测量的]。因此，电场实际上是电压的空间导数（电场等于电压相对于距离的变化率）。这些事实总结如下：
因此，方程[4]和[5]告诉我们，沿着电路的任何点（在[4]中为dEMF）的EMF微分量等于该位置的E场。因此：
现在，一些数学家Stokes发现，在一个环上积分（平均）一个场就等于在环内积分这个场的旋度。这对你来说应该有一个直观的事实：旋度是场旋转的量度，因此曲面内向量场的旋度应该与围绕曲面的环的场的积分有关。如果没有意义，请多想想，或者接受以下事实（因为它是真的——不仅是E字段，而且是任何字段）：
现在我们就快到了。如果我们用方程[3]和方程[7]中的项替换方程[2]的Farday定律，那么我们得到：
在方程[8]中，我们注意到如果我们在曲面上有两个积分，并且曲面可以是我们选择的，那么我们积分的量也必须是相同的。这就是我们如何得到法拉第定律的最终形式，如麦克斯韦方程所列！
法拉第定律表明，回路中磁场的变化会产生感应电流，感应电流是由回路中的力或电压引起的。我们可以这样说法拉第定律：
电流产生磁场。电路周围的磁场产生电流。
磁场随着时间的变化会产生一个围绕它循环的电场。
随着时间的推移，一个循环的电场会产生一个随时间变化的磁场。
法迪定律是非常强大的，因为它显示了宇宙是多么热爱对称。如果电流产生磁场，磁场就会产生电流。空间中的E场的变化会导致时间上的B场的变化。当我们继续看麦克斯韦方程的最后一个，安培定律，我们会看到更多的对称性！
式4 安培定律
安培是一位科学家，他在试验载电流的电线上的力。早在19世纪20年代，他就在做这些实验，几乎和法迪研究法拉第定律的时间一样。安培和法迪不知道，大约40年后，麦克斯韦自己会把工作统一起来。
电线上的力量对我来说不是特别有趣，因为在我的工作过程中，我从来没有机会使用非常复杂的方程式（包括博士学位，在国家实验室的一些工作，以及国防和消费电子行业的就业）。所以，我将首先介绍安培定律，它涉及电流和围绕它的磁场：
方程[2]可以解释为：假设有一个导体（导线）携带电流，那么这个电流产生一个绕导线旋转的磁场。
方程[2]的左边是指：如果你沿着环绕导线的任何一条假想路径，把沿着该路径的每一点的磁场相加，那么它将在数值上等于被该路径环绕的电流量（这就是为什么我们把环绕电流写为环绕电流或环绕电流的原因）。
让我们做一个有趣的例子。假设我们有一根长电线，它承载着恒定的电流，I[安培]。距离导线任意距离r[米]时，导线周围的磁场是多少？
让我们看看图1中的图表。我们有一根载电流为安培的长电线。我们想知道在距离导线r的地方磁场是多少。所以我们在电线周围画了一条假想的路径，这是图1右边的蓝色虚线：
安培定律的例子
安培定律[方程式2]指出，如果我们沿着这条蓝色路径把磁场加起来（积分），那么在数值上这应该等于封闭电流I。
现在，由于对称性，磁场在距离导线r处是均匀的（不是变化的）。图1中蓝色路径的路径长度等于半径r的圆的周长。
如果我们把磁场的一个常数相加（我们称之为H），那么方程[2]的左边就变得简单了：
因此，我们已经知道了H场的大小。既然r是任意的，我们知道H场在哪里。方程[3]指出，当你远离导线时（由于1/r项），磁场的大小会减小。
所以我们用安培定律（方程式[2]）来计算绕着电线的磁场的大小。然而，H场是向量场，这意味着在每个位置is都有一个量值和一个方向。H场的方向与虚环相切，如图2所示。右手法则决定磁场的方向：
我们要用斯托克定理做同样的技巧，就像我们在看法拉第定律时做的一样。我们可以重写方程式[2]中的安培定律：
在方程[4]的右边等式中，我们利用Stokes定理将一个闭合环周围的线积分，通过环所包围的曲面，转化为同一场的旋度。
我们还可以将总电流（I）重写为电流密度（J）的表面积分：
现在我们用表面积分（方程[4]和[5]）重写了原来的安培定律（方程[2]）。因此，我们可以把它们放在一起，得到安培定律的一种新形式：
现在，我们有了一种新的安培定律：磁场的旋度等于电流密度。如果你是一个聪明的学习者，你可能会注意到方程式[6]不是最后的形式，它是写在方程式[1]中的。方程[6]有一个问题，但直到19世纪60年代，詹姆斯·克拉克·麦克斯韦才发现这个问题，并把电磁学与麦克斯韦方程统一起来。
至此，麦克斯韦方程全部讲完，不知道小伙伴们对麦克斯韦方程组有没有加深印象。没有的话，继续往下看：
全文最精彩部分就是下面...
四，简明扼要说Maxwell Equation
到目前为止，我已经单独讨论了麦克斯韦方程。在这一页上，我想再次给出他们的概述-没有数学-并解释他们作为一个整体的含义。
4.1高斯定律
高斯定律等价于电荷的力方程：相似电荷相互排斥，相反电荷（正电荷和负电荷）相互吸引。
高斯定律还说电场线偏离电荷。这意味着正电荷是电场的来源（就像水龙头是水源一样）。高斯定律是指负电荷作为电场的水槽（水通过水槽孔排出或离开一个区域的方式）。这意味着电场线在充电时开始和停止。
4.2磁学高斯定律
麦克斯韦的第二个方程表示磁单极子不存在。当我们有电荷（电单极子）时，我们从未发现磁等价物——磁电荷或磁单极子。这个方程表明磁场倾向于环绕物体，因为散度为零，磁场倾向于形成闭合环。
4.3法拉第定律
法拉第定律告诉我们，随着时间变化的磁场会产生一个循环的电子场。这意味着我们有两种产生电场的方法——从电荷（或流动电荷、电流）或从正在变化的磁场。
4.4安培定律
安培定律告诉我们，流动的电流产生一个绕着电线的磁场。除此之外，它还说随着时间变化的电场会产生一个围绕着电场的磁场——这是麦克斯韦自己提出的位移电流项。
这意味着有两种方法可以产生一个螺线管（循环）H-场-一个流动的电流或一个变化的电场。两者都会产生同样的现象。
总的来说，麦克斯韦方程是什么意思？
前两种主要用于直流电，即当所有电压和电流都是恒定的，且没有随时间变化的情况下。这些在我看来不太重要，事实上，它们可以从第二组方程中导出。因此，这是后两个版本的一个较弱的版本。
第三和第四个方程确实规定了电场和磁场的规则。例如，在一种被称为时域有限差分法（FDTD）的电磁学解算器中，只有后两个方程用于E场和H场的数值求解。前两个不需要。
让我们来看看第三和第四个方程，这两个简洁的陈述支配了所有的E场和H场传播：
法拉第定律说，变化的磁场产生一个旋转的电场。现在，宇宙中的事物不会持续增长或持续收缩——它们会振荡（以平均值上下移动）。这意味着磁场先增大后减小，这意味着电场在一个不断变化的磁场周围来回缠绕。这意味着电场也在随时间变化。
现在看看安培定律。这意味着一个变化的电场会产生一个旋转的磁场。同样地，电场也会在时间上振荡，环绕磁场也会在时间上变化。
让我们想想最后两段。不断变化的磁场产生不断变化的电场。而不断变化的电场会产生不断变化的磁场——磁场本身会产生不断变化的电场，从而产生。。。。。
这是什么？这种现象称为传播。这就是电磁波传播的原因。这是一个永恒的运动轮，它使太阳光在真空中传播，而不需要任何介质。从这两个方程中我们可以确定所有传播的波都以单一的速度传播，即光速。这个速度可以直接由麦克斯韦方程中的常数决定。
每一种电磁形式或辐射——可见光、x射线、加热地球的太阳光、无线电波、电视波、wifi信号、蓝牙信号、手机传输和GPS——都完全由电场和磁场组成。你所需要知道的关于它们如何传播和与物质相互作用的一切，都完全由上述两个方程决定，这两个方程在19世纪60年代由詹姆斯·克拉克·麦克斯韦统一解释。
让我们记住这个人詹姆斯·克拉克·麦克斯韦
End...
