气动声学基础知识：莱特希尔方程
莱特希尔（Lighthill）方程是气动声学计算的基础方程之一。其命名是因为时任英国曼彻斯特大学教授的莱特希尔（Michael James Lighthill）在1950年代发表的《On Sound Generated Aerodynamically》系列论文首次提出此方法。通常莱特希尔方程也称为莱特希尔类比。
1 方程适用范围
和任何物理方程的提出和推导类似，莱特希尔方程在推导过程中也包含前提条件，其前提条件限制了应用范围。主要的前提条件：1 流场分为流动区域和静止区域，且静止区域完全包围流动区域4 研究的关注区域为静止区域，流动区域仅作为声源存在
上述前提决定了，莱特希尔方程主要适用于远场声传播的问题，且流场中不存在导致声速大范围变化的因素（强可压缩性、大温度差、气体组分差异等）。
方程 1（质量守恒）
方程 2（动量守恒）
流场中物理量是连续分布的，其密度、速度均是二阶可导函数。偏导数求导次序可进行互换而结果相同，由此可得：
方程3
方程4
方程4的第二项，分母表示了运动流体的动量变化源，包括对流、压力梯度和粘性三种因素。
静止区域仅存在静水压力（hydrostatic pressure），其压力和密度之间满足关系式：
流动区域和静止区域之间动量的交换关系定义为莱特希尔张量（Lighthill tensor），其表达式为：
表达式第一项为区域分界面的流体穿过导致的动量交换；第二项和第三项为流体压力和粘性的作用导致的动量交换。此处将湍流和声学的界面影响做了类比，即莱特希尔类比的原因。对于实际流场，其流动区域和静止区域为人为分割的任意形状，因此方程4和莱特希尔张量在流场任意位置均成立。考虑动量交换关系后，方程2的右侧加入动量交换源项以表明静止区域内部的声传播规律：
方程5
方程6
方程6称为莱特希尔方程，表达了流体中声音的形成和传播规律。
3 莱特希尔方程的实际应用
直接求解莱特希尔方程进行仿真的应用较少。FW-H方程作为莱特希尔方程的扩展，考虑了固体边界的声学影响，从而大大加强了在工程仿真的实用性。FW-H方程其作为当前的气动声学研究主要应用方法之一，广泛用于风扇、航空等领域的气动声学仿真。
基于FW-H方程的直升机气动声学仿真（图源：gauss-centre.eu）
