弹簧单元刚度矩阵的推导

00 导读

    本文分别使用直接法和能量法推导线弹性一维弹簧单元的单元刚度矩阵。因为该单元类型非常简单，所以推导过程一目了然。

    直接法和能量法具有明确的力学含义，并且得出了一样的单元刚度矩阵。

01 弹簧单元

   线弹性一维弹簧单元如下图所示。

02 直接法

    弹簧单元的力平衡方程。(外力和内力的平衡)

    写成矩阵形式。

    弹簧单元的刚度矩阵。

03 能量法

    建立总势能函数。(应变能减去外力做的功)

    总势能函数的驻值条件。

    写成矩阵形式。

    弹簧单元的刚度矩阵。

04 总结

    本文的单元类型非常简单，所以可以直接写出力平衡方程，进而获得单元的刚度矩阵。但对于二维或三维单元，则无从下手写出力平衡方程。直接法的应用范围非常有限。

    对于二维或三维单元，能量法先建立单元的势能泛函(积分型)，然后根据变分法原理(泛函的驻值条件)，通过里兹法转化为函数的驻值条件，进而获得单元的刚度矩阵。

    变分法将微积分的应用范围从变量推广到函数，将函数的驻值条件推广到泛函的驻值条件。而里兹法(数值方法)又将泛函的驻值条件退化为函数的驻值条件，进而找到了近似解。笔者后续将通过其它实例展示这一过程。