单元刚度矩阵的推导方法

00 导读

    本文介绍有限元法中单元刚度矩阵的三种推导方法。

    第一种，直接法，主要适用于杆单元和梁单元等。

    第二种，能量法，主要适用于存在泛函的场景。

    第三种，加权余量法，可用于不存在泛函的场景。

01 直接法 

 建立力平衡方程。如果是静态平衡，则只需考虑力和位移的关系；如果是动态平衡，则还需考虑惯性力和阻尼力。直接法的优点是比较简单和直接，缺点是难以处理复杂单元，适用于线单元。

02 能量法

    能量法适用于推导二维和三维单元的刚度矩阵。最小势能原理只能应用于弹性材料，虚功原理(虚位移原理)可以应用于任何材料。

03 加权余量法

    加权余量法非常适用于在泛函还没建立的场景下，使有限元法能直接用于求解微分方程，尤其最常用的是伽辽金法。

04 总结

    直接法简单，并且力学含义简明，但适用范围小。加权余量法适用范围广，但数学意味强，而力学意味弱。能量法的适用范围介于两者之间，并且具有明确的力学含义。

    笔者想到，牛顿力学以力为核心概念，分析力学(也称为经典力学)以能量为核心概念，这是一种进步。

    对于复杂问题，笔者建议，可以尝试从能量角度入手，往往会变得更加容易分析和理解。正如本文所展示的。