浅谈数值积分、数值微分
1、数值积分
（1）在对函数进行积分时，建议使用复化积分，即将积分区域进行分段，对每个小段进行积分，然后将积分结果进行相加即可。
（2）在积分算法的选择上面，我个人比较喜欢龙格算法以及高斯公式构造的算法【PS：对于高斯公式，不必要将节点数设置得太多，两点、三点高斯公式计算结果已经很好】。对于选择什么算法，这个仁者见仁智者见智。
（3）当选择一些积分算法无法得到好的积分结果时，可尝试进行积分域的变换，然后再使用其它算法进行积分。PS：记得以前对一个无限区域进行积分时，变换到有限区域，采用高斯积分，得到了非常好的结果。
（4）如果积分结果依然太差，可尝试截断积分域或者进行相应的积分变换，或者进行分步积分。
（5）积分误差的确定。很多时候，我们无法知道积分结果的正确与否，这时我们迫切希望得到一个误差来度量计算结果。目前，我无法找到一个完美的反映误差的方法，（特别是对那些未知的函数形式），这时一种反映误差的通用方法不失为一种比较好的选择：以前后两次（比如复化积分时，第一次复化100次，第二次复化200次等等）积分结果的相对误差来作为评判积分结果的误差。这种相对误差虽然无法绝对保证计算的正确性，但是绝大部分情况下是可行的。
（6)个人感觉目前的积分技术已经十分成熟，绝大部分函数进行积分难度不是那么大，所以请相信你自己！
2、数值微分
（1）个人感觉数值微分在求解一些初值问题时，还是比较有用的，然而，微分远没有积分发展得那么成熟。
（2）在数值微分当中下面常用的一阶、二阶的三点、五点公式等，个人感觉特别有用
一阶：①
f'(x[0])≈(-3*y[0]+4*y[1] -y[2] )/(2*h)
f'(x[0])≈( 3*y[0]+4*y[-1]-y[-2])/(2*h)
f'(x[0])≈(y[1]-y[-1])/(2*h)
f'(x[0])≈(-25*y[0]+48*y[1] -36*y[2] +16*y[3] -3*y[4] )/(12*h)
f'(x[0])≈( 25*y[0]-48*y[-1]+36*y[-2]-16*y[-3]+3*y[-4])/(12*h)
f'(x[0])≈( -3*y[-1]-10*y[0]+18*y[1] -6*y[2] +y[3] )/(12*h)
f'(x[0])≈( 3*y[1] +10*y[0]-18*y[-1]+6*y[-2]-y[-3])/(12*h)
f'(x[0])≈( y[-2]-8*y[-1]+8*y[1]-y[2])/(12*h)
二阶：①
f''(x[0])≈(y[0]-2*y[1]+y[2])/h^2
f''(x[0])≈(y[-1]-2*y[0]+y[1])/h^2
f''(x[0])≈(y[-2]-2*y[-1]+y[0])/h^2
f''(x[0])≈(2*y[0]-5*y[1] +4*y[2] -y[3] )/h^2
f''(x[0])≈(2*y[0]-5*y[-1]+4*y[-2]-y[-3])/h^2
f''(x[0])≈(35*y[0]-104*y[1] +114*y[2] -56*y[3] +11*y[4] )/(12*h^2)
f''(x[0])≈(35*y[0]-104*y[-1]+114*y[-2]-56*y[-3]+11*y[-4])/(12*h^2)
f''(x[0])≈(11*y[-1]-20*y[0]+6*y[1] +4*y[2] -y[3] )/(12*h^2)
f''(x[0])≈(11*y[1] -20*y[0]+6*y[-1]+4*y[-2]-y[-3])/(12*h^2)
f''(x[0])≈(-y[-2]+16*y[-1]-30*y[0]+16*y[1]-y[2])/(12*h^2)
其中:y[0]=f(x[0]),y[1]=f(x[0]+h),y[2]=f(x[0]+2*h),y[3]=f(x[0]+3*h),y[4]=f(x[0]+4*h),y[-1]=f(x[0]-h),y[-2]=f(x[0]-2*h),y[-3]=f(x[0]-3*h),y[-4]=f(x[0]-4*h)
（3）在直接求一个函数的微分值时，可采用上面的公式，然后根根据不同的步长h来确定值，其中误差可和积分一样，采用前后的相对误差作为反映结果的一种度量。
（4）对于常见的问题，比如二阶微分方程的线性边值问题，可以采用上面的公式设计相应的差分格式，然后对一个对角方程进行求解即可。
（5）对于有特殊需求的微分，可以自行导出相应公式，然后代入相应的问题求解即可，对于常见的一二阶微分问题，可以充分利用上面的公式进行相应的构造！
推荐书籍：1、数值分析简明教程.王超能 2、现代应用数学手册.计算与数值分析卷
参考：
①现代应用数学手册.计算与数值分析卷[M].清华大学出版社,北京,2007:245-250//注意,此版本书上个别公式有误
