聊一聊抗弯惯矩、抗扭惯矩的物理意义与计算方法

今天偶然看到一篇帖子，感觉截面特性计算的过程中，很容易在一些基本概念上出现理解偏差，于是呢，今天咱就来聊聊平面几何性质的这些事儿。

截面几何性质的用处

对于受弯、受扭构件而言，截面几何性质在很多情况下都能用得上，比如两个最常用的：

在横截面上离中性轴最远的各点处，弯曲正应力最大，其值为：

在横截面上离形心最远的各点处，扭转的剪应力最大，其值为：

所有与截面有关的计算问题，都会涉及到截面几何性质，比较典型的，就是抗弯惯矩、抗扭惯矩等“各种矩”。

需要注意的是，抗弯惯矩对应的是材料力学里的惯性矩，抗扭惯矩“部分等价于”材料力学里的极惯性矩。

各种“矩”

静矩

静矩又称为“一阶矩”，百度百科里给出的定义是：对函数与自变量的积xf(x)的积分(连续函数)或求和(离散函数)。力学中用以表示f(x)分布力到某点的合力矩，几何上可以用来计算重心，统计学中叫做数学期望（均值）。

觉得拗口？咱们“望文生义”一下，第一次接触到“矩”是在哪里？中学时候学过的力矩，对吧，力矩等=力*力臂，我们来类比一下，把静矩看作“静力矩”，是静力的力矩，静力指的是重力。看下面的图：

对于面积微元dA而言，对于z轴的静矩，就是dA对应的重力乘以dA到z轴的力臂，也就是yc，那么对dA在整个平面上积分，就成了这个平面对z轴的静矩：

不知道有人发现了没有，刚才说的不是“重力”嘛，怎么是对平面的积分呢？因为研究的对象就是一个没有厚度的面，对于理想的等截面匀质构件来说，面积-体积-重力就是成正比的物理量了。

那么，静矩有什么用呢？

计算形心位置，因为当坐标轴通过形心时，对应的静矩就会是0，因此对于非对称的复杂截面，我们需要得到形心位置，从而可以把整个截面的重力集中到形心点上去，实现结构分析的简化。

形心位置：

其实，严格来说，本文讲的全部“重力”，都应当替换成“质量”更稳妥。因为所谓形心(质心)指的是把为质量集中在此点的假想点。当截面由不同材质组成，形心和重心就不重合了。

惯性矩

有了静矩的分析经验，我们还是来“望文生义”，把惯性矩看为“惯性力矩”，惯性力指的是什么呢？

什么时候有惯性？当然是运动的时候啦，所以，这回和刚体运动联系上，物体发生转动的时候，有外力矩=转动惯量*角加速度的关系，那么回顾一下转动惯量是怎么定义的：

其中，m是质量，r是半径，长度单位。

从上图可见，是不是找到相似之处了？同样是面积量(这里把面积等同于质量)乘以到坐标轴力臂的平方：

至于“惯性”也好理解，截面在受弯时，是不是可以理解为绕着中性轴发生截面的微小转动呢？

上面的公式，分别是表示绕着Z轴转的Iz和绕着Y轴转的Iy，那么在一个平面内，只能绕着两个轴转么？能绕着一个点转吗？别忘了还可以引入“极坐标”的概念：

想一想，一个截面，绕着一个点旋转，是什么效果？这就是扭转啦！

惯性积

注意上面的各种“力臂”，讨论了一阶的力臂，也讨论了一阶力臂的平方，那么将两个一阶力臂相互乘积，能得到什么物理量：

如果截面对Y或Z有一个对称轴，则Iyz=0，它的意义在于——表明截面是有对阵轴的，那么称这对使惯性积为零座标轴称为惯性主轴，若是惯性主轴再通过形心，就叫形心主轴。

复杂截面如何计算抗弯惯矩和抗扭惯矩

利用AutoCAD进行计算：

步骤如下：

1.在同一个图层内绘制截面

2.利用region命令(简化命令是reg)，把每一个封闭曲线都创建成一个面域；

3.利用substrate命令(简化命令是su)，根据CAD程序提示，先后从大面域里“减去”小面域。这个过程也可以理解为从一个大面积里“抠出”三个洞，总之做好之后，点击线上任一点，就呈现全选的状态，如下图所示就对了。

4.利用massprop命令查看此面的属性：

美中不足的是，上面的截面的形心并没有在坐标原点，当然可以处理一下。当然可以用创建用户坐标系的方法来做，我用了一个比较简单的方法，就是用划线命令，line，输入第一点坐标即(482.5790,114.8464)，这就可以定到形心上了。总之呢，把截面调整到形心处：

计算结果如下：

面积: 95092.9445
周长: 6059.9333
边界框: X: -832.5790 -- 892.4210
           Y: -114.8464 -- 85.1536
质心: X: 0.0000
        Y: 0.0000
惯性矩: X: 457258904.5254
           Y: 16959671763.2843
惯性积: XY: 249385689.1575
旋转半径: X: 69.3437
               Y: 422.3131

其中，质心指的是形心，惯性矩X指的是Ix，惯性矩Y指的是Iy

注意到“边界框”了吗？这是用来计算抗弯截面系数的：

Wx1=Ix/ymax=457258904.5254/832.5790=549207.8284mm3

Wx2= Ix/ymin=457258904.5254/892.4210=512380.2606mm3

Wy1= Iy/xmax=16959671763.2843/85.1536=199165646.1181mm3

Wy2= Iy/ymin=16959671763.2843/114.8464=147672645.9278mm3

这个方法的优点是非常便捷，缺点是不能计算抗扭惯矩

利用迈达斯截面计算器

1.把截面绘制出来，并由AutoCAD存成dxf格式文件，注意不要定义成面域，否则无法导入到迈达斯内，已经定义了的，用x命令炸开；

2.在截面计算器中，导入dxf格式文件

3.双击树形结构中section命令，框选全部，确定后创建平面：

4.点击菜单Property下的List Section Propery：

其中J就是抗扭惯矩

如此看来，其实迈达斯用起来更方便一些。

其实，构件的抗扭惯性矩对于圆形截面，就等于极惯性矩，对于矩形以及更复杂的截面，计算方法要复杂一些，不同于极惯性矩的计算方法。

手算方法

说是手算，实际上就是用Excel编辑的公式对截面进行简化计算啦，在某些特定条件下可以用作参考。