从单元连接关系到节点邻接点-有限元采用稀疏矩阵求解的前置工作

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在有限元求解中，最终通常要求解的是一个关于场变量的线性方程组，在常见的位移场有限元中，要求解的是各个节点的位移，该线性方程组的系数矩阵通常称为刚度矩阵，方程组右边通常称为右端项或者荷载向量。一般情况下，由于网格划分后并不是所有节点都两两连接，因此实际上最终形成的整体刚度矩阵中大部分元素为0，这种矩阵称为稀疏矩阵。在有限元求解中，对于这种系数矩阵为稀疏矩阵的方程组，一种常见的方法是仅保存刚度矩阵的非0元素到内存中，0元素不保存，这样就可以以更小的内存保存大型结构的刚度矩阵。

那具体矩阵中有多少元素为0，就可以认为其是稀疏矩阵呢？这个界限实际上比较模糊，有文献给出如下定义：如果矩阵的A的非0元素数量为O(n)，其中n是A的阶数，则矩阵为稀疏矩阵。

稀疏矩阵经常通过非0元素分布图表示其稀疏性质，以下是两个常见的稀疏矩阵的分布图：

在有限元分析中，非0元素的分布，实际上主要取决于单元的节点连接，以下图中的单元连接为例：

假设图中每个节点一个自由度，则整体刚度矩阵为16x16的矩阵，而具体非0元素的分布，可以通过单元连接得到邻接点得到，所谓邻接点，指的是相对于当前单元位于同一单元内的所有点的集合。以节点6为例，其邻接点是1,2,3,5,7,9,10,11。

获得上述邻接点后，刚度矩阵中第6行的非0元素的位置实际上就确定了：k(6,1),k(6,2),k(6,3),k(6,5),k(6,6),k(6,7),k(6,9),k(6,10),k(6,11)。

在实际采用稀疏矩阵求解有限元问题时，获得上述非0元素位置后，就可以对刚度矩阵采用稀疏矩阵存储，常见的存储方式有COO，CSR，CSC和DIA等。上面的网格数量较少，因此可以通过观察获得节点的邻接点，在实际有限元求解中，网格划分以后通常得到的是单元的节点连接信息，即各个单元分别有哪几个节点构成，并不能直接获得各个节点的邻接点，在上图中，网格划分后得到的单元的节点连接信息如下：

1 1 2 6 5

2 2 3 7 6

3 3 4 8 7

4 5 6 10 9

5 6 7 11 10

6 7 8 12 11

7 9 10 14 13

8 10 11 15 14

9 11 12 16 15

通过上述连接信息，就可以得到任一节点的邻接点，在这里，提供一个从上述节点连接获得节点邻接点的代码，节点连接信息按照上面的格式保存在element.txt中。

#include<iostream>#include<vector>#include <algorithm>#include <fstream>#include<map>

int main(int argc, char** argv){   int nNode ;   std::cout << "节点总数：" << std::endl;   std::cin >> nNode;  std::multimap<int,int> *nodeNear=new std::multimap<int,int>[nNode];

  int nElem;  std::cout << "单元总数：" << std::endl;  std::cin >> nElem;  int elemNumber;  std::vector<int> *elemConnect=new std::vector<int>[nElem];
  std::ifstream eFile("element.txt");
  if (!eFile) std::cerr << "open file failure" << std::endl;    const int nNodePe=4;     int nodeN[nNodePe+1];  for (int i = 0; i < nElem; i++)  {    for (int j = 0; j < nNodePe+1; j++)    {      eFile >> nodeN[j];      elemConnect[i].push_back(nodeN[j]);    }      }  for (int i = 0; i <nNode; ++i)  {    for (int j = 0; j<nElem; ++j)    {      auto a1 = std::find(elemConnect[j].begin()+1, elemConnect[j].end(), i);      if (a1 != elemConnect[j].end())      {        for (auto it = elemConnect[j].begin()+1; it!= elemConnect[j].end(); it++)        {          nodeNear[i].insert(std::pair<int,int>(*it,elemConnect[j][0]));        }        }    }    }
  std::cout << "输入节点号：" << std::endl;  int nodeNumber;  std::cin >> nodeNumber;  std::cout << "邻近节点：" << std::endl;  for (auto it:nodeNear[nodeNumber])  {    std::cout << "node  " << it.first <<"  in element  "<< it.second << std::endl;  }  delete[] nodeNear; delete[] elemConnect;  return 0;}