波导知识普及

直白的讲波导就是将能量从一个地方传到另一个地方的器件。

波导能够将能量束缚在一个中空的金属中，这样能大大降低能量传输过程中的损耗，而不是像天线那样直接将能量辐射到整个空间中。

可以把波导理解成指向性特别强的天线，能量只能在波导能传播，而不能扩散到别的地方。

波导跟同轴线一样，是一种传输线，波导中有一个很重的要概念叫截止频率  (cutoff frequency)。

波导中只能传输比截止频率高的能量，而比截止频率低的能量会很快在波导中衰减掉。

所以波导可以被看成一种高通滤波器。

波导有方波导和圆波导，也有弯曲波导，以方波导为例，讲一下波导中的几个重要的概念。

如上图所示，波导的长为a，宽为b，其中a>b，假设波导中填充的介质的介电常数为  ，磁导率为  ，波导中的传播方向为Z方向，波导截面位于XOY平面。

首先就是前面提到的截止频率，每个波导都有自己的截止频率  ，频率高于或等于截止频率的信号可以在波导中传输，频率低于截止频率的信号会在波导中衰减。

截止频率的大小由波导的横截面的尺寸决定，波导的横截面越大，截止频率越低，公式如下所示：

由以上公式可以看出，如果波导是中空的，方波导的介质频率由长边a决定。

柱面波导的截止频率的公式为：

其中r是圆波导的半径，圆波导的介质频率由半径r决定。

波导中还有一个很重要的概念是模式，那什么是波导中的模式呢？

波导中的模式说白了就是波在波导中的“形状”(The fields within the waveguide always have a specific "form" or "waveshape" to them - these are called modes [3])。

波导中的模式可以分为TE模和TM模，那什么是TE模，什么是TM模呢。

我们知道空间中的电场和磁场都可以分为三个方向分量：x,y,z，我们假设波导的传播方向为Z方向。

TE模就是电场在传播方向是分量为零，即  ,所有的电场能量都在截面方向。

TM模就是磁场在传播方向分量为零，即  ，所有的磁场能量都在截面方向。

波导中的模式分为 模式，i和j分别表示波在长边a和短边b方向振荡了多少次，如图3所示，电场在横截面上振荡了一次就是TE10，在横截面上振荡了两次就是TE20，磁场以此类推。

后面我会详细通过公式去讲解，这里只是一个简单介绍，有个直观的感受。

由于边界条件的限制，波导中没有TEM模，根据波导提供的边界条件，亥姆赫兹方程没有TEM模的解。

没有公式推导的讲解就是耍流氓。

很少有人喜欢公式推导，但是我认为波导中场的公式推导是很必要的。

因为波导属于规则物体，可以用经典的分离变量法求解。

讲解过程中，我尽量详细阐述推导过程和每一步的物理意义。

我们可以把波导看成一个无源的区域(source-free region)，根据麦克斯韦方程组的高斯定理：

 (电场散度度为零）

为了简化运算，我们一般都会将散度为零的矢量场用旋度为零的另一个矢量场来表示（如果不明白的话，可以去看一下电磁场课本的第一章）：

 , 由此可得  

其中  没有实际物理意义，是拿来简化运算的，在这里我需要强调一下，大家在推导公式的时候，一定要明白每一步所代表的物理意义。

现在我们假设波导中的场为TE模式（Ez=0）,通过将  写成标量的形式可以得到波导内的电场分布：

通过麦克斯韦方程组中的法拉第电磁感应定律

因此，如果我们能得到Fz，我们就可以得到波导中的场分布，接下来的任务就是求解Fz

根据麦克斯韦方程组我们知道在一个无源的场中，场矢量满足波动方程：

在这里我们只需计算Fz，因此，通过以上公式可以得到

 ，将换成偏微分的形式 

接下来就是解这个二阶偏微分方程了，很明显这是直角坐标系中的方程，用最基本的分离变量法就可以求解，具体求解过程可以参考入门的电磁场书籍。

很显然我们需要根据波导的边界条件求出以上公式中未知数的值，在波导中波导壁上的切向场必然为零，也就是当y=0和b时，  ,当x=0和a时，  ，从而求得：

从上式中可以看出只有m和n为一定值得场才能在波动中存在，这也就是我们所说的模式，因为我们求解的是TE模式，所以就写成  ，其中m代表在X轴上波震动的次数，n代表在Y轴上波震动的次数。

将Fz带入之前波导中电场分布的公式中，我们可以得到波导中的TE模式场的分布表达式

磁场分布可以向对应的求解出来，在这里就不罗列了，主要是我太懒了，不想在敲公式了。

从电场分布可以看出，不同的模式的幅度Amn都是各自独立的。

现在我们就可以求解波导中各种模式的截止频率了，首先我们知道

将kx和ky带入得 

只有当满足kz大于等于0的时候，波才能够传播，因此我们求得对于不同模式的波在波导中的截止频率为

模式越高，截止频率越大。