midas MeshFree入门系列--分析类型

今天首先看看MeshFree的分析类型，本次介绍基于midas MeshFree 3.0R1。

线性静力分析用来确定结构在给定的静力载荷作用下的响应情况，通常关心结构的位移、反力、应力和应变。

在静力分析中，忽略载荷的时间效应，即载荷不随时间变化；另外静力分析不考虑惯性和阻尼的影响。

其控制方程为：

其中：[K]为刚度矩阵，{u}为节点位移，{F}为载荷

线性静力分析需要考虑如下的假设条件：

①刚度系数[K]必须是常量

• 假设材料是线弹性
  

• 采用小变形理论（应变<2%）
  

• 可采用部分非线性边界条件
  

②载荷{F}为静力载荷

• 不考虑随时间变化的载荷
  

• 不考虑惯性（如质量，贡献惯性力）和阻尼（贡献阻尼力）的一些影响。

模态分析是用来确定结构振动特性的技术，例如如何避免固有频率与外部激励频率匹配时导致的结构共振问题，通过模态分析可以得到结构的固有频率、振型、模态参与系数、有效质量百分比等。

通过模态分析可以：

• 改进结构设计避免共振或以特定的频率进行振动；

• 使人们认识到结构对于不同类型的动力载荷是如何响应的；

• 有助于在其他动力学分析中估算求解控制参数（如时间步长、时间间隔等）。
  

另外，当采用模态叠加法的线性动力学进行分析时，必须先进行一次模态分析。

动力学通用控制方程为：

其中：[M]为质量矩阵，[C]为阻尼矩阵，[K]为刚度矩阵，{u}为节点位移，{F}为外载荷；

为位移对时间的二阶导，即加速度；位移对时间的一阶导，即速度。

在模态分析中假设结构为自由振动，即{F}={0}；由于阻尼对固有频率的影响甚微，故阻尼矩阵[C]一般可忽略不计。因此：

在模态分析中，常规方法下不支持任何非线性行为，故[M]、[K]为常量。则结构的自由振动可认为是简谐振动：

代入到模态分析的控制方程得到：

实际上，求解模态分析就是求解上述的特征方程的特征值和特征向量，特征值为ω2，ω为结构的圆周频率，可得结构的固有频率；特征向量{φ}即结构的振型。

结构在不同的外载作用下会表现出不同的动力学特性，但是在普通模态分析中是不能添加外载荷的，因此可以采用预应力模态的方法进行求解。

预应力模态分析分为两个步骤：先进行温度荷载或者结构荷载下的线性静力计算，得到结构更新的刚度；再用更新后的结构刚度进行模态计算。

例如：琴弦被拉紧的时候，刚度会增加，固有频率也会相应的增大，这是应力刚化的例子。

执行静力学分析：

基于静力分析的应力状态，考虑应力刚化的影响：

[σ]--->[KD]

执行模态分析：

通常来说，外载荷引起的结构刚度增加，将导致结构固有频率增加；外载荷引起的结构刚度减小，将导致结构固有频率减小。

热分析是用来确定结构在热载荷作用下的热响应技术。

当物体与周围环境存在温差时，热量就会从温度高的地方向温度低的地方传递，这就是热传递现象。热传递分析可以分为稳态热传递分析和瞬态热传递分析。

稳态热传递的3种基本类型：

• 热传导

  当物体内部存在温差或多个接触良好的物体之间存在温差，热量会从高温部分（高温物体）向低温部分（低温物体）传递，这种热量传递方式就是热传导。热传导遵循傅里叶定律。
  

• 热对流

  热对流现象发生在固体表面与周围介质（流体）之间，由于温差的存在而引起的热量交换。热对流一般分为两类：自然对流与强制对流。
  

• 热辐射

  热辐射指一个物体或多个物体之间通过电磁波进行能量交换。一切温度高于绝对零度的物体都能产生热辐射，物体温度越高，单位时间辐射的热量越多。热辐射不需要介质，真空中辐射效率最高，辐射分析是高度非线性的。热辐射遵循斯蒂芬-玻尔兹曼定律。

物体的体积在受热时膨胀, 冷却时收缩。但是, 如果物体被约束, 无法热胀冷缩，则会在物体内产生抵抗这些变形的内力，即热应力。

例如, 如果对圆形截面的窄金属杆加热时没有约束, 则杆可以自由伸长。然而, 如果杆在两端受限, 使其不能纵向伸展, 则金属杆会对约束它的物体施加力, 而约束金属杆的物体对金属杆则施加相同大小和相反方向的力。这时的金属杆处于受力状态，物体内部会产生抵抗变形的内力，这就是热应力。

在MeshFree中，稳态热应力分析是先进行一个稳态热传递分析，得到结构与初始温度的温差；再在稳态热分析的基础上进行一次线性静力分析。

结构设计通常是指满足设计规范（如安全性或稳定性）的设计。即使工程师有足够的经验或直觉，最初的设计也很少能满足所有的设计要求。虽然通过反复试验能找到满足设计约束的设计，但是在许多情况下，安全系数太高，设计不经济。

因此，优化设计不只是简单地满足设计要求。实际上，优化设计作为一种工具，能够使设计的产品既能安全又经济，帮助用户找到最优化的设计。

而拓扑优化是诸多优化设计种类中的一种，也是使用率最高的一种。

拓扑优化的主要思想是：寻求一种能够根据给定负载情况、约束条件和性能指标，在指定区域内对材料分布进行优化的数学方法。

通俗地讲就是，在给定的设计空间内找到最佳的材料分布，或者传力路径，从而在满足各种性能的条件下得到重量最轻的设计。

优化设计有三要素：设计变量、目标函数和约束条件。

设计变量是发生改变从而提高性能的一组参数，在MeshFree中拓扑优化的默认设计变量为材料密度；

目标函数要求最优的设计性能，是关于设计变量的函数，这就好比手中有一些钱去买水果，目标函数水果的个数尽可能多；

约束条件是对设计的限制，是对设计变量和其他性能的要求，例如买的水果中苹果的个数不能超过多少。

瞬态响应是用来确定系统结构承受随时间变化载荷作用的一种动态响应的分析方法。

瞬态响应分析的通用控制方程为：

进行瞬态响应分析时，我们要输入的是随时间变化的荷载，如力、速度、加速度、位移等。

通过瞬态响应分析，我们可以得到结构随时间变化的响应结果，如变形、应力、应变等。

目前MeshFree的瞬态响应分析可进行线性瞬态响应分析，不支持非线性行为。

通过控制方程可以看出，瞬态响应分析能够考虑结构的惯性和阻尼效果。

瞬态响应分析的方法分为直接积分法和模态叠加法。

• 直接积分法

  对全部耦合的运动非方程进行直接数值积分来求解。
  

• 模态叠加法

  利用结构的模态振型对耦合的运动方程进行缩减和解耦，然后在由单个的模态响应进行叠加来得到问题的最终解答。

直接积分法的好处是结果精度比较高，而且可以进行非线性分析；缺点是计算比较耗时，同时时间步长非常重要，因此直接积分法适合于规模比较小的模型。

模态叠加法的好处是计算速度快，对于大规模的模型适用性好；缺点是由于是一种近似的方法，其结果精度相对直接积分法要低，同时模态的选取数量非常重要，而且只能进行线性分析，不支持非线性行为。

频率响应分析是一种确定线性结构在承受一个或多个同频率简谐（正弦）载荷作用下系统稳态响应的技术。频率响应只计算稳态受迫振动，不计算激励开始时的瞬态振动。

通俗地说就是，对于给定结构，给定幅值、相位的简谐（正弦）载荷，通过频率响应分析寻找出简谐载荷处于何种频率时结构会发生共振，因此需要输入简谐（正弦）载荷频率的变化范围，故而频率响应分析又叫扫频分析。

进行频率响应分析，我们只需输入简谐（正弦）载荷的幅值、相位，以及简谐（正弦）载荷频率的变化范围，无需考虑简谐（正弦）载荷的时间效应；通过频率响应分析，可以得到每个自由度的响应随频率的变化关系，而不是随时间变化，借此找出可能发生共振的频率范围。

频率响应分析通常用于旋转设备的支座、曲柄连杆机构或者受流体涡旋运动影响的结构（如海洋平台）等，能够帮助设计者判定产品结构能否承受住不同频率的简谐（正弦）载荷，从而避免共振产生，降低由于受迫振动造成的损坏。

随机响应分析是各个分析中最抽象的一种，因此理解起来可能比较困难，这里笔者力争从原理上让大家理解。

对于某些振动，其规律显示出相当的随机性而不能用确定性的函数来表示，只能用概率统计的方法来描述，这种振动就是随机振动。例如，空中飞行的飞机，道路上行驶的汽车，波浪撞击船舶，受地震影响的建筑物等。

所以随机响应分析的目的是从统计学的角度出发，确定结构响应的统计学特性，通常得到的是一个标准偏差（1σ）下的位移变形、应力等。

反应谱分析是一种用来取代瞬态响应分析，用于确定线性结构对于随机、时变载荷（如地震、风载、海洋波浪、火箭发动机振动等）时的最大响应。

反应谱分析忽略了一些信息（例如相位、时间历程等），但能够快速求解结构的最大响应，它直接将结构在各阶固有频率下的最大响应进行组合，因此结果偏于保守，这种方式很适合大型建筑结构设计前的验证。

在反应谱分析中，最基本的是反应谱。反应谱描述了线性单自由度系统在给定时间历程载荷作用下的最大位移。横坐标的单自由度的固有频率，纵坐标为单自由度系统的最大响应值，可以是加速度、速度、位移和力。

典型的反应谱曲线

反应谱生成的过程：

①建立单自由度系统的弹簧振子系统（弹簧质量阻尼系统），施加瞬态载荷。

②跟踪瞬态载荷作用下弹簧振子系统的响应（位移、速度、加速度），记录最大的响应值。

③改变弹簧振子系统的频率（保持阻尼不变），进行①②重复的操作。

④将不同频率下的弹簧振子系统的最大响应绘制为频率的函数，得到响应与频率之间的关系曲线，即为反应谱。阻尼包含在响应谱中。

要说明的是位移谱、速度谱、加速度谱之间是可以相互转换的

反应谱作为载荷输入到分析模型中，软件基于模态分析的结果和反应谱曲线，得到每阶模态的最大响应，最大响应的值通过反应谱曲线获得。

一般来说，各阶模态的最大响应不可能同时达到，且彼此之间不完全同相位，简单的叠加非常保守，需要采用一定的组合方法进行模态组合叠加，以计算结果的整体响应。

目前MeshFree中提供的组合方法包括：ABS、CQC、SRSS、NRL、TENP。其中推荐的方法为CQC、SRSS。

线性静力分析的控制方程为：

其中刚度矩阵[K]保持常量，故外载荷与模型的响应呈线性关系，即遵循胡克定律。

然而，就一般情况而言，固体力学的问题都是非线性的。

如果使用胡克定律去近似模拟实际问题，能够达到精度要求，此时才能使用线性静力分析；如果实际问题中存在结构刚度随载荷变化而变化等的情况，即载荷与位移呈非线性关系，此时必须采用非线性分析。

非线性分析广泛存在于现实生活，如江边渔者垂钓的鱼竿、承载运动器重量的轮胎、重型机械零件的锻造、薄板零件的冲压与折弯等，都涉及结构非线性的问题。

由于载荷与位移呈现非线性的关系，因此非线性静力分析需要使用迭代求解，常用的迭代方法是牛顿-拉普森（Newton-Raphson）方法。迭代求解的过程中，需要将载荷分解成若干步逐渐加载，这就是子步的概念，也叫增量步。而每一个增量步里面又有若干个迭代步，迭代步存在的意义是保证每个子步（增量步）达到收敛。

非线性分析分为三种类型：

• 材料非线性

  材料呈现非线性的应力应变关系，如弹塑性、超弹性、蠕变、粘弹性材料。当前的MeshFree版本3.0R1可以分析弹塑性材料，下一个版本4.0R1可以分析超弹性材料。
  

• 几何非线性

  结构历经大变形，变形的几何形状引起结构的非线性响应。如鱼竿提线的过程。MeshFree的几何非线性功能在4.0R1版本得到完善。

• 状态非线性

  结构刚度和边界条件随结构件运动而发生变化，如零件之间接触关系的变化、单元的生死。接触非线性属于状态非线性中最常见的。目前MeshFree的接触非线性支持部分的功能，完整的接触非线性需要等到明年的版本。

本文的过程中参考了不少的书籍资料，在这里一并感谢。