从单自由度系统理解模态分析

什么是模态？模态就是所研究系统可能的振动形态，也叫振型。理论上，有n个自由度的系统就有n阶模态，也就是有n个振动形态，并且每一个振动形态对应一个振动的频率，这个振动频率就是固有频率。模态分析就是求系统的振型和对应的固有频率。

我们先从单自由度系统开始，来理解模态的概念。

单自由度系统的动力学方程是：

它表示惯性力、阻尼力、弹性力和外力的平衡。

对于视频中的弹簧振子系统，不考虑阻尼力的存在，并且是自由振动。因此对于弹簧振子的无阻尼自由振动，它的动力学方程简化为：

这是二阶线性齐次微分方程，它的解为：

从解中可以看到，弹簧振子系统的振型形态是简谐运动(视频中也可以看出)，对应的固有频率：

式中， C₂为幅值，φ为相位，由初始位置决定。

从固有频率的表达式中可以知道，固有频率跟质量和刚度有关，质量越大，固有频率越小；刚度越大，固有频率越大。因此，如果需要调整结构的固有频率，可以从系统的质量和刚度两个方面去考虑。

下面举一个具体的例子。

在弹簧振子系统中，质点的质量是10kg，刚度为100000N/m，那么它的固有频率是多少呢？很简单，只需要将质量和刚度代入到固有频率等式中，即可求出。

我们可以用midas程序来验证一下。

从视频中可以看出，midas程序计算的结果与理论计算结果是一致的。

了解单自由度系统的振动形态和固有频率，有助于我们理解模态分析的物理含义，也有助于我们理解两个甚至多自由度系统的振动形态和固有频率。

后面我们会介绍更多的模态分析的内容！欢迎再来！