midas 动刚度

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刚度是指结构或材料抵抗变形的能力。由于结构或材料所受荷载的不同，可能受到静载荷或动载荷，因此，刚度又分为静刚度和动刚度。当结构或材料受到静载荷时，抵抗静载荷下的变形能力称为静刚度；当受到动载荷时，抵抗动载荷下的变形能力称为动刚度。故，结构或材料既有静刚度又有动刚度。

了解动刚度原理之前，先了解一下FRF（Frequency Response Function）

频率响应分析是一种确定线性结构在承受一个或多个（相同频率）简谐载荷作用下系统稳态响应的的技术。它只计算稳态受迫振动，不计算激励开始时的瞬态振动。我们已经明白了频响函数可以用位移/力表示，当用力/位移时，表示的是动刚度。我们同时测量激励力和由该激励力引起的结构响应（这个响应可能是位移、速度或加速度），将测量的时域数据通过快速傅立叶变换（FFT）从时域变换到频域，经过变换，频响函数最终呈现为复数形式，包括实部与虚部，或者是幅值与相位。公式形式如下：

我们常用矩阵形式来处理频响函数，所以用下标可以方便地确定某个输入-输出位置的FRF。例如由‘j’点输入激励引起‘i’点的输出响应，那么FRF中的元素为hij，定义为‘j’点单位激励力在‘i’点引起的响应。第一个下标表示输出响应位置，第二个下标表示输入激励位置。

FRF元素的分子中包含留数，而留数与模态振型直接相关；分母包含系统极点信息，也就是系统的频率和阻尼信息。因此，从频响函数矩阵可以得到系统全部的模态信息。频响函数矩阵中的单个元素可以写成（下标k表示阶数）

该方程主要由系统每一阶模态的留数（分子）和极点（分母）来描述。将频响函数用模态振型表示为

从这个方程可以清楚地看出FRF的幅值受输出响应位置的模态振型值乘以输入激励位置模态振型值的控制。这个频响函数可以用任何一个感兴趣的输入-输出组合来表示。

这个方程感兴趣的部分是留数和极点，虽然留数的改变依赖于特定的输入-输出组合，但是极点保持不变。这暗示着系统极点是全局特性，它们独立于特定的输入-输出位置。也就是说从一个输入-输出位置就能测量到系统的所有极点（频率和阻尼）信息。因此，固有频率测量，理论上讲，只需要一个测量位置即可测量出所有的模态频率（实际测量时要避开节点位置）。

然而，留数却依赖于特定的输入-输出位置，随输入-输出位置的变化而变化。也就是说不同输入-输出位置的留数是不相同的，这就说明了为什么测试模态振型时，需要大量的测点。这是因为不同测点的留数是不同的，留数是局部特征，留数不同也就是振型值不同，因此，振型依赖于不同的测量位置，为了将振型唯一地描述出来，要求测点数目尽量多，通过这些测点位置的振型值能唯一地表征这些模态的振型。

当我们用模态振型写出这个方程时，结构的模态振型对于特定ij位置的FRF幅值有强烈的影响，这一点就变得非常清晰了。留数本质上由振型缩放系数，q，和响应输出位置的模态振型值乘以输入激励位置的模态振型值。这表示，如果输出位置或者输入位置的模态振型值为0（也就是位于模态节点上），那么这阶模态就没有幅值，这一点就变得非常清晰了。因此，模态参考点要避开节点。

单自由度动刚度

而动刚度为力与位移之比，则

从上式可以看出动刚度：

1）复值函数；

2）随频率变化；

3）与系统的质量、阻尼和静刚度有关；

4）当频率等于0时，动刚度等于静刚度；

让我们再回想一下单自由度系统的FRF区域及性质

同理，单自由度系统的动刚度曲线也有类似性质

在低频段，动刚度接近静刚度，幅值是k，表明共振频率以下的频率段主要用占主导地位的刚度项来描述。如果作用在系统的外力变化很慢，即外力变化的频率远小于结构的固有频率时，可以认为动刚度和静刚度基本相同。

在高频段，动刚度的幅值为ω2m，表明共振频率以上的频率段主要用占主导地位的质量项来描述，这是因为质量在高频振动中，产生很大的惯性阻力。当外力的频率远大于结构的固有频率时，结构则不容易变形，即变形较小，此时结构的动刚度相对较大，也就是抵抗变形的能力强。

在共振频率处动刚度的幅值下降明显，其幅值为ωc，表明在共振频率处主要受阻尼控制。而在共振频率处，我们知道，结构很容易被外界激励起来，结构的变形最大，因而结构抵抗变形的能力最小，也就是动刚度最小。

多自由度动刚度

单自由度系统是基础，但现实世界中的系统大多数都是多自由度系统，因此，我们测量出来的动刚度也是多自由度的动刚度。下图为多自由度系统的同一位置的加速度频响函数（加速度导纳）和该点的动刚度曲线。

多自由度系统的驱动点FRF存在多个共振峰和反共振峰，在共振峰处，对结构施加很小的激励能量，结构就会产生非常大的振动（变形），因而在共振峰处，结构很容易被激励起来，结构的变形大，抵抗变形的能力弱，也就是动刚度小。

在反共振峰所对应的频率处进行激励，即使激励能量再大，结构也没有响应或者响应很微弱，也就是说在**振峰所对应的频率处，结构很难被激励起来，结构的变形小，抵抗变形的能力强，因此，动刚度大。

从上图可以看出，频响函数共振峰对应的是动刚度曲线的极小值，也就是说频响函数幅值大的频率处，动刚度小。在反共振峰处，动刚度大，二者刚好相反。参考文献：知乎up主linmue-谭祥军

频率响应分析又称扫频分析：计算结构在简谐载荷作用下对每个计算频率的响应幅值和相位，确定结构响应最敏感的频率范围，即共振点。

用于频率响应分析的荷载是正弦荷载(谐波荷载)。模态分析可以得到结构的固有频率和振型，尽管能够判断结构在频率荷载作用下发生共振的可能性，但是难以获得连续的响应结果。

频率响应分析是一种线性分析，任何非线性即使定义也会被忽略。

频率响应分析定量地表达了设计产品对每个频率的响应，因此，可以清楚地看到每个频率荷载下结构的变形。例如，在汽车中，发动机转速(转数可以转换为频率)发生变化时，从正常空转状态逐渐增加转速，安装在车辆中的很多部件随着频率的变化呈现出各种动态响应。下图是频率位移曲线图，明显地看到，在一定的激励频率下，位移增加，而在其他激励频率下，位移减少。