浅说杆件的扭转
法国科学家库伦（Charles-Augustin de Coulomb, 1736-1806）发明的库伦扭秤，利用一根长的细金属丝扭转来测量微小的力，这被认为是“杆件”扭转问题的最早研究。1784年，库伦在他的回忆录Theoretical research and Experimentation on Torsion and the elastic of metal wire中，得到了金属线扭转问题的一般结果：对于相同金属的线材，扭矩与扭转角、直径的四次方和线材长度的倒数成正比。将其用数学公式写出来，即
这里，l 表示金属线的总长，D表示金属线的直径，α表示金属线的扭转角，ω是一个材料相关的常数。在《材料力学》中，等截面圆杆的扭转公式表示为 其中，Ip=πD4/32称为极惯性矩，G为剪切模量，φ表示扭转角。比较式(1)和式(2)可知，库伦已经得到了等截面圆杆的正确解，库伦所谓的ω实际上是πG/32。如图1所示，库伦扭秤由两个圆柱体组成，下面是一个较大的玻璃圆柱体，上面套一个细一些的圆柱体，一根直径很细，但有一定长度的金属丝穿过细圆柱体，金属丝上端悬挂在支架上，下端系着一根两端各有一小球的绝缘棒，将一个带电小球与其中的一个小球接触后，两个小球带同样的电荷（另一个小球作为配重），两个小球将产生排斥力。依据公式(1)，当丝线直径D很小、l 很长时，在一定的扭矩Fτ下，将产生较大的扭转角α，这说明该装置可用于测量很微弱的力，库伦正是凭借这一装置研究得到了静止电荷相互作用关系的库伦定律。可见，金属丝则是库伦扭称的核心测量部件，丝线所受扭矩与其转角成正比是库伦扭称的理论基础。实际上，这里库伦的结论暗含的一个基本假设，即等截面圆杆的扭转平面假设。1836年 ，纳维（Claude-Louis Navier，1785-1836）将库伦的理论应用于解决棱柱（非圆截面）的扭转问题，但他得到了一个错误的结论 。纳维认为：在一定的扭矩下，杆件的扭转角度与杆件的极惯性矩成反比，最大的剪应力将发生在距离中心最远的地方、垂直于该点与中心的连线。纳维前面的结论是正确的，但后一个结论很容易得到相矛盾的结论。假设有一个矩形截面杆，如图2所示，依据纳维的结论，边界上任意点A处剪应力应该垂直于半径OA。如果将该剪应力进行分解，可得到τxz和τyz，由于杆件表面为自由表面，可以导出τxz=0，这说明τyz将成为该点处的全部剪应力，这就与A点剪应力垂直于半径OA相矛盾。造成这一矛盾的原因就在于，库伦所用的金属丝为圆形截面，可以保持平面假设，但棱柱在扭转时，其截面将不再保持为平面，而会发生翘曲，纳维的错误结论在于错误的使用了平面假设。1847年，纳维的学生，法国力学家圣维南（Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant，1797-1886）给出了等截面直杆的正确解，现在被称为圣维南扭转问题。他采用了半逆法进行求解。假设有一个受扭棱柱，参照圆杆扭转问题，圣维南假定矩形杆受扭转后的变形包括两个部分：1）与圆杆相同的截面旋转；2）矩形杆所有截面都相同的翘曲变形。 如图3所示坐标系，设截面内位移分量u, v与扭转角之间的关系为这里，θz表示距离坐标原点为z的横截面上的截面转角。假设截面翘曲满足函数利用式(3)和(4)，以及几何方程，可以求得矩形扭转问题的应变分量，为可见，在杆件扭转中，正应力消失，只有剪应力。将式(6)代入平衡方程，忽略体力，有考虑如图4所示边界上无限小单元abc，假设边界上弧线增加的正方向是从c到a的方向（即从x轴转向y轴），则在侧边界上有这样扭转问题就可以被简化为寻找满足式(7)和式(9)的位移函数ψ(x,y)。此方法从位移出发求解非圆截面杆扭转，称之为位移法。除了位移法，圣维南还给出了棱柱扭转的应力函数法，求解了椭圆截面杆、三角形截面杆等一系列扭转问题的解。如前所述，圣维南得到最大剪应力发生在边界上距离形心最近的点。1899年，英国力学家菲隆（Louis Napoleon George Filon, 1875-1937）对最大剪应力的出现位置进行了深入而细致的讨论。菲隆利用数值法求解了图5所示的椭圆被双曲线所截的截面杆件，且椭圆截面从小到大依次增加，图中考虑了4个椭圆截面，从小到大依次标记为1,2,3,4。菲隆发现，对于两个小的椭圆，其最大应力发生在B点，在距离形心最近的位置；但对于两个大一点的椭圆，最大应力发生在F点，例如对于第3个椭圆，最大应力发生在F3点，对于第4个椭圆，最大应力发生在F4点 。 与菲隆同龄的普朗特（Ludwig Prandtl，1875-1953）大学毕业后专注于研究材料强度、以及弹性问题的各种实验方法和理论问题（1898年）。1899年，普朗特完成了他的博士论文《横向扭转屈曲:弹性平衡不稳定的一个例子》（德文：Kipperschenungen, ein Fall vom instabilem elastischem Gleichgewicht）。论文中普朗特考虑了一个悬臂“T”形截面梁，当在自由端施加载荷后，一个额外的适当小的载荷将会引起加载端横向扭曲，这个问题实际上属于狭长矩形截面梁的侧向失稳问题。这在当时是一个非常引人注目的问题，一直没有被很好的解决。普朗特发现侧向扭转的微分方程属于贝塞尔微分方程，并首次对某一阶贝塞尔函数进行了数值计算，并得到了正确的解。普朗特为这种变形引入了一个新的术语：偏转（Auskippen），此后，这一术语被广泛用于描述承载结构中的这种现象，在建筑设计、施工中具有了重要的现实意义 。 1901年，普朗特加入汉诺威技术学院（Technische Hochschule Hannover），在机械工程系讲授力学课程。于1903年发表了有关薄膜比拟的论文，普朗特发现了非圆截面扭杆应力函数所满足的微分方程与相同截面下的薄膜形状一致，因此，为了求解扭杆上的应力分布，只需要从一块木头上切下一段，在其横截面上覆盖上肥皂膜，并在其上施加压差。那么，皂膜在横截面任何区域的斜率与其横截面同一点上的应力成正比。薄膜比拟的意义在于，通过数学的一致性将两个属于不同领域的问题联系起来，从一个事物获得另外一个事物的解。在20世纪30-60年代，普朗特的薄膜概念还被广泛用于电子管（“真空管”）设计领域，以模拟设备内电子的轨迹。该模型通过在框架上均匀拉伸薄橡胶板，在下方施加电极使薄橡胶板向上变形，此时，利用钢球在薄橡胶板上滚落，其轨迹就是电子轨迹。而因“电极”产生的曲面代表了场强增加，薄片的向上变形与场强相似 。这让我们看到表面纷繁的自然世界可能存在着某些相同的本质。[1] 单祖辉, 谢传锋. 《工程力学：静力学与材料力学》(第2版). 高等教育出版社. 2021.3[2] Alberto A. Martínez. J.Z. Buchwald. Replication of Coulomb’s Torsion Balance Experiment. Arch. Hist. Exact Sci. 60 (2006) 517–563. [3] Jan Francu, Petra Novackova, Premysl Janicek. Torsion of a non-circular bar. Engineering Mechanics. 2012,19(1):45-60[4] Timoshenko. S.P. Goodier J.N. Theory of elasticity. [5] Filon, L. N. G.-On the Resistance to Torsion of certain Forms of Shafting, with special reference to the Effect of Keyways. Phil. Trans., A, vol. 193, 1899, pp. 309-352.[6] Johanna Vogel-Prandtl. Ludwig Prandtl：A Biographical Sketch, Remembrances and Documents. The International Centre for Theoretical Physics. Trieste, Italy. 著作权归作者所有，欢迎分享，未经许可，不得转载
首次发布时间：2022-10-24
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