塌陷载荷和边坡稳定性极限原理分析(FEM Limit Analysis)
地基承载力和边坡稳定性是岩土工程最基本的问题。总的来说，分析这类问题的方法有：(1) 数值模拟方法，主要是有限元和有限差分法；(2) 极限平衡法，即所谓的条分法；(3) 极限分析法。现代大多数商业性软件使用的是前两种方法，很少使用极限分析法。不过，极限分析提供了一种直接评估地层承载力和边坡稳定的有效手段，不需要进行详尽的载荷-位移分析。与极限平衡方法的近似原理不同，极限分析基于严格的塑性理论，能够求出塑性载荷的上限解和下限解，一般认为，极限平衡方法给出的是上限解，但是这也不是绝对的，在以后的文章中将会进行详细的讨论和比较。本文分为两部分：第一部分以地基承载力为例，进行了塌陷载荷上下限的极限分析，主要描述了有限元软件OptumG2的工作流程，第二部分进行了一个经典的边坡稳定性分析，使用上下限强度折减法计算，并于极限平衡法的结果作了比较。无论使用何种数值模拟方法，首先必须建立几何模型，OptumG2通过点、线、弧、圆、矩形工具构造几何模型，既可以用鼠标输入，也可以用键盘输入，既可以使用绝对坐标，也可以使用相对坐标。
OptumG2内置了好多种模型，如果需要使用哪一种模型，只需从工具栏内把材料模型拖到几何模型上即可。每个变量都可以设置为按空间规律变化或者随机变化，如下图所示。
有两种型式的外载荷: Fixed和Multiplier，施加外载荷时，只需要点击目标边，然后从工具栏选择合适的加载方式即可。
边界条件选择“Standard Fixities”即可。
默认情况下只有Stage 1，拷贝Stage 1作为Stage 2, Stage 1用于下限计算(Lower)，Stage 2用于上限计算(Upper)。分析方法采用Limit Analysis，单元数量设置为1000，有限元网格使用自适应划分。
同时进行Stage 1和Stage 2计算，计算完成后通过分析日志可以查的塌陷载荷的下限值为267.47kPa，上限值为325.20kPa，最好的估计值为296.34kPa+/-28.8kPa。下图所示的剪应变。
下图所示的是一个非常经典的边坡稳定性问题，广泛用于分析方法的验证。与上面的承载力例子一样，使用Mohr-Coulomb材料模型，内聚力c=3kPa，摩擦角phi=19.6°，单位重量gamma=20kN/m^3，使用极限分析的强度折减法计算边坡安全系数。
计算结果显示，边坡的下限SRF=0.978，上限SRF=0.983, 下图所示的是上限值的最大剪应变图。相同的条件使用极限平衡法计算，得到如下的安全系数：Bishop Simplified, FOS=0.981Janbu Simplified, FOS=0.931GLE/Morgenstern-Price, FOS=0.972
应当意识到，极限分析只适用于完全塑性的理想材料，即不考虑屈服后的硬化或软化以及相关的流动规则。极限分析的两篇经典著作如下：
[1] Chen, W. F. (1975) Limit analysis and soil plasticity.
[2] de Borst, R., Vermeer, P. A. (1984) Possibilities and limitations of finite elements for limit analysis.
