CDEM方法简介

1、CDEM概述

CDEM（ContinuousDiscontinuous Element Method）是连续非连续单元方法的英文简称，是一种有限元与离散元耦合的显式数值分析方法，主要用于岩土等材料渐进破坏过程的模拟。该方法的特点是，在模拟材料弹塑性变形的同时，可以模拟显式裂缝在材料中的萌生、扩展及贯通过程。

CDEM中的数值模型由块体及界面两部分构成。块体由一个或多个有限元单元组成，用于表征材料的弹性、塑性、损伤等连续特征；两个块体间的公共边界即为界面，用于表征材料的断裂、滑移、碰撞等非连续特征。CDEM中的界面包含真实界面及虚拟界面两个概念，真实界面用于表征材料的交界面、断层、节理等真实的不连续面，其强度参数与真实界面的参数一致；虚拟界面主要有两个作用，一是连接两个块体，用于传递力学信息，二是为显式裂纹的扩展提供潜在的通道（即裂纹可沿着任意一个虚拟界面进行扩展）。

CDEM中数值模型的示意图如图1所示，该示意模型共包含8个块体，其中有2个块体由2个三角形单元组成，其余的6个块体均由1个三角形单元组成；此外，1(c)中红色线为真实界面，黑色线为虚拟界面。

       图1 CDEM中的数值模型构成

CDEM采用基于增量方式的显式欧拉前差法进行动力问题的求解，主要包含节点合力计算及节点运动计算两个部分。节点合力计算如式(1)所示，为

（1）

其中，F为节点合力，F^E为节点外力，F^e为有限元单元变形贡献的节点力，F^c为接触界面贡献的节点力，F^d为节点阻尼力。

节点运动计算如式(2)所示，为

（2）

其中，a为节点加速度、v为节点速度、为节点位移增量，u为节点位移全量，m为节点质量，为计算时步。基于式(1)、式(2)的交替计算，即可实现显式求解过程。

2、    有限元部分的求解

采用增量法进行有限元单元应力及节点变形力的计算，为

（3）   

其中，B_i、Δε_i、Δσ_i、、分别为高斯点i的应变矩阵、增量应变向量、增量应力向量、积分系数及雅克比行列式；及为高斯点i当前时刻及上一时刻的应力向量；D、Δu_e、F_e分别表示单元的弹性矩阵、节点增量位移向量及节点变形力向量；N表示高斯点个数。

外载荷作用下有限元单元会发生较大的平动及转动，CDEM通过实时更新应变矩阵（B矩阵）实现单元大变形及大运动的模拟。

3、   离散元部分的求解

离散元中最重要的两个步骤是接触检测及接触力的计算，CDEM中采用半弹簧-半棱联合接触模型进行接触对的快速标记及接触力的精确求解。

半弹簧由单元顶点缩进至各棱（二维）或各面（三维）内形成；半棱仅在三维情况下起作用，由各面面内相邻的半弹簧连接而成。半弹簧形成时，缩进距离一般取顶点到各棱或各面中心距离的1%-5%（一般取5%）。由于半弹簧及半棱找到对应的目标面及目标棱后，方能构建出完整的接触，因此称之为“半”弹簧及“半”棱。

接触对建立后，即可采用增量法进行界面上接触力的计算，为

（4）        

其中，F_n、Fs为法向、切向接触力，Kn、Ks为法向、切向接触刚度Δdu_n、Δdus为法向、切向相对位移增量。

当进行界面损伤断裂计算时，采用式(5)进行拉伸破坏的判断及法向接触力的修正，为

（5）

其中，T₀、T(t₀)及T(t₁)为初始时刻、本时刻及下一时刻界面上的抗拉强度，A_c为界面的面积，ε_lim为界面的拉伸断裂应变，ε_p为本时刻界面的拉伸塑性应变，为

（6）

其中，L_c为局部化带宽度，Δdu_n为界面间的法向位移差,E为界面的等效弹性模量（虚拟界面时，该弹性模量与块体的弹性模量一致）。

采用式(7)进行界面剪切破坏的判断及切向接触力的修正，为

（7）   

其中，ϕ_c为界面的内摩擦角，c₀、c(t₀)及c(t₁)为初始时刻、本时刻及下一时刻界面上的黏聚力，γ_lim为界面的剪切断裂应变，γ_p为本时刻界面上的剪切塑性应变，为

（8）

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