什么是共振？

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在自然界中，共振现象非常常见，如2020年虎门大桥共振、汽车行驶过程中方向盘抖动、飞机颤振、机械设备共振等等。对于大多数的工业机械、工程结构、建筑、仪器仪表等结构而言，共振都是有害的，如共振会导致灾难性的事故，如大桥坍塌、结构疲劳断裂等。例如，1940年美国tacoma大桥因大风激励使桥产生扭转共振，从而导致大桥坍塌。除了对工程结构本身有害之外，共振对人体也会产生危害。人体各个器官也有相应的共振频率，如图1所示，当人体共振时会产生眩晕、呕吐等症状。

图1 人体器官的共振频率

对于工程结构而言，绝大多数情况下，共振都是有害的，应当避免发生共振，但是共振也有有利的一面。如振动筛、微波炉等就是利用共振原理来工作的。

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共振的定义

在解释共振之前，我们应该对振动的基本概念有所了解。振动是结构系统在其平稳位置来回做往复运动。从广义上讲，表征物体运动的物理量作时而增大时而减小的反复变化，就可以称这种运动为振动。如果变化的物理量是机械量或力学量，例如物体的位移、速度、加速度、应力及应变、噪声等，这种振动便称为机械振动。相对而言，我们经常用振动位移、速度和加速度来描述机械振动，这些振动物理量有别于我们通常所说的位移、速度和加速度。

我们把振动发生完成一个完整往复循环所需要的时间称之为周期；把一秒钟内振动发生的次数称为频率。测量的频率以Hz为单位，是为了纪念19世纪德国物理学家Heinrich Rudolf Hertz，用他的名字命名的。1Hz表示一秒钟振动循环一次。

共振是指系统受到外界激励时产生的响应表现为大幅度的振动，此时外界激励频率与系统的固有频率相同或者非常接近。共振是一种现象，共振发生时的频率称为共振频率。由于结构是一个连续体或弹性体，存在多个自由度，故结构存在多阶固有频率，因而，结构的共振频率也有多个。

当结构的阻尼非常小时，共振频率近似等于结构的固有频率。因而，单个共振是外界的激励的频率等于或非常接近结构或材料的固有频率时，结构或材料发生大幅度的振动。共振时，结构的振动非常剧烈，这将导致不可预料的行为，例如飞机在空中解体（见下面的颤振视频）。

在频响函数中，曲线峰值所对应的波峰称为共振峰，峰值频率对应结构的固有频率，在这个峰值频率处，对结构施加很小的激励能量，结构就会产生非常大的振动响应，因而在共振峰处，结构很容易被外界激励起来。当以dB形式显示频响函数时，特别当FRF为驱动点FRF时，会发现FRF曲线中有波谷，这些波谷称为反共振峰，如图2所示，在反共振峰频率处对结构施加激励，即使激励能量很大，结构也没有响应或者响应很微弱，也就是说在反共振峰频率处，结构很难被激励起来。若不考虑输入输出噪声，则共振峰处所对应的相干等于1，这是因为结构的响应完全是由当下的激励引起的，而在反共振峰处，相干很小（相干函数下坠），这是因为此处的响应与激励二者没有因果关系，所以相干很小，理论上是0值。

图2 FRF曲线中的共振峰与反共振峰

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共振频率与固有频率的区别

不管共振发生与否，结构的固有频率是不变的，而只有当外界的激励频率接近或等于系统的固有频率时，系统才出现共振现象。因而，共振频率不一定完全与固有频率相等，共振频率是按外界的激励频率来讲的，而固有频率是从结构属性来讲的。虽然很多情况下，都认为共振频率就是固有频率。但是，二者还是有明显的差异。

对于单自由度系统在受简谐力（Fsinωt）的作用下，它的动态位移响应X与静变形δ_st的幅值比(称为动力放大系数)为

式中，β表示外界的激励频率与这个单自由度系统的固有频率之比，ζ表示单自由度系统的阻尼比。

在不同频率比与不同阻尼比下，受外界激励的单自由度系统的动态位移响应与静位移的幅值比曲线如图3所示。不管阻尼比为多大，当β=1时，即外界的激励频率与固有频率相等时，幅值比有极值，等于1/(2ζ)。因此，阻尼比越小，幅值比值越大，对应的波峰越尖锐。但对于大阻尼系统而言，从图3中可以看出，曲线的波峰较宽胖，且阻尼越大，共振峰越宽胖，波峰越平缓。因而，对于有阻尼系统而言，当外界的激励频率接近，而非等于固有频率时，系统就会发生共振。或者说，共振不是出现在固有频率单值频率处，而是具有一定的频率宽度，我们把这个频率宽度出现的共振频带，称之为共振带。也就是说，在固有频率附近存在一个频率区间，在这个区间内，结构很容易出现共振。

图3 不同阻尼比下的动静位移幅值之比

在colormap图中，经常可以看到如图4所示的垂直频率轴的具有一定宽度的高亮区域，这个区域就是所谓的共振带。这个区域一定是在结构的某一阶固有频率附近。从图4可以看出，共振区域并不随转速的变化而变化，而是始终垂直于频率轴。这是因为结构的固有频率是结构的固有属性，跟外界激励没有关系。因而，出现共振时，共振频率不随外界的激励频率变化。

图4 colormap中的共振带

通过以上分析，我们明白以下几点：1）共振一定是出现在结构的某一阶固有频率附近；2）在colormap或瀑布图中，共振表现为垂直于频率轴的宽频处出现大幅值的响应；3）共振频率不一定等于结构的固有频率。

为了测量结构的共振，需要在结构上安装振动传感器。然后激励结构，激励频率通常为结构在工作状态下所遭受的那些频率成分。用传感器测量的响应将与激励有关，同时将会给出这些频率，就是激励所包含的频率成分。激励频率必须是结构或材料正常工作时的频率成分。如果结构在这个频率范围内有共振，那么在响应的频谱中将会出现大的峰值。峰值所对应的频率就是结构的共振频率之一。如果没有峰值，那么共振频率应是位于这个工作频率范围之外。为了找到共振频率，需要应用宽带激励。

另一方面，从避免共振的角度来讲，要求激励频率与固有频率有40%以上的频率间隔，这似乎是不现实的。因为，通常结构是多自由度系统，结构有多阶固有频率，当离某一阶固有频率远了之后，就会离相邻的一阶固有频率近。因此，通常要求激励频率离固有频率至少有15-20%的间隔。

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利用力向量图解释共振

在讨论之前，让我们简要描述一下单自由度系统（SDOF）的振动位移、速度和加速度之间的相位关系。单自由度系统如图5所示，其振动位移、速度和加速度运动波形图如图6所示，从上到下，依次为振动位移、速度和加速度。它们之前的关系也可以通过微积分得到：

图5 SDOF系统

图6 振动位移、速度和加速度三者之间的相位关系

在图5所示的简谐振动的弹簧质量块系统中，假设位移向下为正，当拉住质量块到最大位移位置（下限）后释放瞬间，位移为正向最大，速度为0，加速度为负向最大（图6中横轴0时刻）；在质量块由正向最大位移位置向0点运动的过程中，位移为正、变小，速度为负、变大，加速度为负、变小；当质量块运动到0点时（图6中横轴T/4时刻），位移为0，速度为负方向最大，加速度为0；当质量块通过0点向上运动时，位移为负、变大，速度为负、变小，加速度为正、变大；当质量块运动到上限时（图6中横轴T/2时刻），位移为负方向最大，速度为零，加速度为正方向最大。依此关系，可画出三者的振动波形图，见图6，得到三者之间在相位上的关系：简谐振动中，振动速度超前振动位移90°，振动加速度超前振动速度90°，振动加速度超前振动位移180°。当然，三者的相位关系也可以从运动方程的微积分关系式中得到。

明白了三者的相位关系之后，我们再来讨论有阻尼单自由度系统，假设质量是集中质量，弹性力线性正比例于位移，阻尼力线性正比例于速度。图7为这样的单自由度系统，m是集中质量，c是粘性阻尼，k是刚度，x(t)是因外力f(t)作用引起的位移。对于这些假设，通过牛顿第二定律可以推导出二阶常系数偏微分运动方程：

图7 有阻尼单自由度系统

从运动方程可以知道，系统受到4个作用力，分别为弹性力（kx）、阻尼力（cv或cωx）、惯性力（ma或mω²x）和外力（f(t)）。由于速度与位移有90度的相位差，因此，阻尼力滞后弹性力90度。而加速度与位移反相180度，所以，惯性力与弹性力反相180度，与阻尼力相差90度。共振时，4个力要平衡，因此，外力领先于与位移相关的弹性力，或者我们可以说，系统的响应滞后于外力。所有的这些力都将以向量的形式在这个力向量图中给出。注意到在这个情况中，为了提供这些图以展示每一种情况的影响，要指定的阻尼大于现实中可能存在的阻尼。

我们知道，固有频率ω²=k/m，因此，在共振频率（等于固有频率）处，系统的惯性力与弹性力平衡，即mω²x=kx。这意味着唯一能平衡外力的只有阻尼力。注意到随着阻尼的增加，响应的幅值改变更平缓(见图3)，且在一个更宽的频率范围内。随着阻尼的增加，相位滞后更平缓，也是在一个更宽的频率范围内。

明白了几个作用力的相位关系，这时便可用力向量图来解释共振了，这个方法对于解释与共振相关的一些方面是非常有用的。图8展示了这个力平衡概念，在考虑图8所有情况之前，让我们讨论简单的静力情况，即F=kx。在这种情况下，静力通过弹性力kx平衡，换句话说，它们彼此相等。现在随着引入阻尼和质量，这将有力平衡之外的项需要考虑，共有4个向量需要通过运动方程来平衡。这里有三种非静态的情况需要讨论：

激励频率远低于共振频率（但不是0Hz，0Hz实际上是静态情况）
激励频率等于共振频率
激励频率远高于共振频率

现在让我们来考虑这三种情况：一种是简谐激励频率远低于固有频率（见图8a），一种是激励频率等于固有频率（见图8b）和激励频率远高于固有频率（见图8c）。如果简谐激励远低于固有频率，那么系统将似乎是静态的。图8a左侧图表示外力主要是由弹性力平衡（因为这是静载荷的情况），但阻尼力和惯性力还是有少量贡献。随着激励频率的增加，惯性力和阻尼力也将增加。当激励频率等于固有频率时，出现共振（见图8b），弹性力和惯性力相等，外力只能通过阻尼力平衡。注意到4个力向量彼此成90度，惯性力与弹性力相等，但方向相反，与外力方向相反的只有阻尼力，且这个阻尼控制系统在共振峰处的响应大小。当激励频率继续增大时（见图8c），外力主要由惯性力平衡，但弹性力和阻尼力也有少量的贡献。