本文介绍TDMA算法。

1 TDMA算法介绍

三对角矩阵算法（TDMA）也称托马斯算法，用于求解具有三对角线系数矩阵的代数方程组。其一般形式为：

对于本书中采用的网格布置，  指的是图中所示的网格点位置。

 

对于  ，可以根据  来求解  ，即：

类似的方式，对于  ，通过式(1)，同时借助式(2)，可以只用  来表示  ，即有：

对  至  重复上面的操作。

总之，  可以写成  的函数，即：

令式(4)的下标为  ，结合式(1)可得到：

将式(4)  P_i  Q_i$有以下的递归关系：

对于  ，  与  的值为：

对于  ，由于  ，可以得到如下关系式：

TDMA求解算法可以总结为：

 

1. 利用式(7)计算      与      
2. 对于      ，利用式(6)采用向前递归的方法计算      与      。
3. 依照式(8)令      。
4. 对于      ，利用式(4)使用向后递归的方法计算      。

”

2 案例练习

矩阵方程为：

可以编写TDMA程序进行求解：

import numpy as np
from pandas import array
 
def tdma(A,b):
    m,n = A.shape
    p = np.zeros(m)
    q = np.zeros(n)
    phi = np.zeros(m)
 
    p[0] = -A[0,1]/A[0,0]
    q[0] = b[0]/A[0,0]
 
    for i in range(1,m):
        if i != m-1 :
            p[i] = -A[i,i 1]/(A[i,i] A[i,i-1]*p[i-1])
        else:
            p[i]= 0
        q[i] = (b[i]-A[i,i-1]*q[i-1])/(A[i,i] A[i,i-1]*p[i-1])
 
    # 回代
    phi[m-1] = q[m-1]
    for i in range(m-2,-1,-1):
        phi[i] = p[i]*phi[i 1]  q[i]
 
    return phi
 
# 测试
A = np.array([[20,-5,0,0,0],[-5,15,-5,0,0],
    [0,-5,15,-5,0],[0,0,-5,15,-5],[0,0,0,-5,10]
])
b = np.array([1100,100,100,100,100])
 
phi = tdma(A,b)
print(phi)
 

程序输出结果：

[64.22764228 36.91056911 26.50406504 22.60162602 21.30081301]

 

注：本文内容采集自《The Finite Volume Method in Computational Fluid Dynamics》及《计算流体力学中的有限体积法》。

”

(完）