同调，上同调和有限元
1. 问题提起
图1 Closed magnetic circuit surrounding by coils
2. 同调和上同调空间
2.1 单形，复形，链复形，同调
我们想要研究的几何图形是由有限个单形组成的, 这种几何图形叫做复形( 准确些称为单纯复形(simplicial complex) ) K
很明显，复形用来流形的离散化表示(Discrete Manifolds)，对应于FEM，FVM，FDM计算中使用的网格概念。大型数值计算平台PETSc命名其相应概念为plex，应该就是取自complex一词。
称为链复形。
图5 两个1-chain在甜面圈上抠出一个2-chain f基于上面的等价关系定义，根据群同态基本定理，可以定义下面的商群
称为同调群。
下面的文字出于"老顾谈几何"专栏。给出了对同调群的直观解释。
"单纯同调群: 理解下同调群的诀窍是考察圈是和边的差别。曲面上的任意一个区域的边界必然是封闭曲线（圈），但是曲面上任意一个圈未必是某个区域的边缘（边），两者的差别就是同调。如果曲面上所有的圈都是边，那么曲面必然是球面。这一观点的严密代数化，就是同调群。两个圈如果相差一个边缘，则它们是互为同调的。所有同调类在加法的意义下成群。同调群是同伦群的简化版，同调群都是可交换群，因此理论上同调运算可以完全由线性代数所胜任。所谓单纯就是简单，这里是指所有的概念都是定义在曲面的三角剖分之上的：曲面区域表示成有向面的并集，封闭曲线表示成有向边的队列，边缘算子表示成线性矩阵。同调群的计算最终归结为代数矩阵运算。"
2.2 de Rham上同调
可以在流形M上定义与同调群对偶，称为上同调群。上同调群可以理解为是定义在链群上的函数。但是在这里我们对一般的上同调群不感兴趣，下面只考虑一种以微分形式为上同调的特殊的上同调群: de Rham上同调群。
de Rham定理
下面的文字出于"老顾谈几何"专栏。给出了对上同调群的有点偷懒的直观解释。
"德-拉姆（de Rham）上同调群 理解上同调群的诀窍是考察无旋场和梯度场的差别。德-拉姆上同调群是定义在微分形式上的。如果曲面具有黎曼度量，我们可以将微分形式等价地理解为切矢量场。取曲面上任意函数，其梯度场的旋量必处处为零。但是，曲面上任意一个无旋场未必是梯度场。无旋场合梯度场之间的差别就是上同调。两个无旋场如果相差一个梯度场，则它们是互为上同调的。所有上同调类在加法的意义下成群。我们可以沿着封闭曲线在矢量场里积分，因此上，下同调群互为对偶。"
2.3 Whitney Form
Whitney映射是一种从cochain同型映射到微分形式的方法。
Whitney上复形与de Rham上复形同构。
3. 应用
作为PDE的解析工具，de Rham复形结构表征了PDE的局部和全局范围内的不变量，在PDE解的存在性，解法的安定性，收敛性分析上都得到了应用。另一方面，作为同调计算，外微积分计算工具的代数拓扑也得到了越来越多的重视。
3.1 有限元周期表: 保持上同调结构的有限元空间
用chain表示有限元的网格结构，cochain则表征了chain上定义的物理量。在前面的分析中，我们了解到chain和cochain具有良好的对称性，我们在算法设计上必须严守这一约束。否则有时可能得到莫名其妙的计算结果。参考文献[6]在其第一章给出了若干示例，可以参考。
这一方向研究的一个小结反应在有限元周期表(Periodic Table of the Finite Elements[7])上。这个周期表总括了满足扩张了的Whitney上同调结构。
图 6 最简单的cohomlogy-preseving有限元空间
图7 Periodic Table of the Finite Elements局部开源有限元软件FEniCS，开源程序库Intrepid2上基本实现了该表中列出的实装。
3.2 同调计算
第一节的示例告诉我们在电磁学计算中，我们需要同调计算以找到势函数的间断位置。由于这个计算量不小，也有不少设计这一方面的研究，如[8],[9]。这一功能已经实装在知名的网格划分开源软件Gmsh上[10,11]，并被开源有限元软件GetDP应用在其电磁学计算中[3]。
3.3 网格数据结构及管理
在一般情况下，网格文件会如图2，3所示的那样通过指定单元所属节点编号来定义一个单元。如此我们可以通过边界算子 ∂ 来算出其他单形进而链复形。这是上一节所述同调计算无障碍地可以在有限元网格上计算的原因。另一方面，即使不进行同调计算，在使用所谓mixed element来插值多物理场是，采用FVM计算时，我们也需要计算单元的边，面等并保存相应数据。
参考文献[12]的第四章: The Finite Element Method and Data Structures建议采用代数拓扑计算的成果。
通用数值计算平台PETSc虽然没有实装上节所示同调计算功能，但是实装有生成(函数名DMInterpolate)和管理链复形的功能。
4. Compatible Discretization / Mimetic Dicretization和开源软件Intrepid2
似乎没有人给出所谓Compatible Discretization或Mimetic Dicretization的定义，我们在此使用参考文献[13,14]的说法，因为在开源软件(软件名待定)中使用了在其思想下开发的开源程序库Intrepid2。
Compatible Discretization要求在离散空间下的场量保持上同调结构。这一点与3.1节所示内容相同。其特点则是导入了一个从微分形式 Λk 到cochain的reduction算符 R:Λk(d,Ω)→Ck 和一个从cochain到微分形式reconstruction算符 I:Ck→Λk(L2,Ω) 。通过选择合适的reconstruction算符I，可以在同一软件框架下实现FEM，FVM，FDM计算。由于开源软件(软件名待定)现在只实装了FEM，FVM，FDM计算功能并未尝试过。
图8 Intrepid2的抽象界面允许在同一软件框架下实现FEM，FVM，FDM实装Intrepid2的基本功能如下:
High-order (up to 10) basis functions for H(grad), H(curl), H(div) and L2 spaces on select cell topologies
Lagrangian and Hierarchical basis functions
Pullbacks (transformations) from reference coordinate frame of H(grad), H(curl), H(div) and L2 fields
Pullbacks of gradient, curl and divergence of H(grad), H(curl), H(div) fields
Quadrature rules of orders up to 20 on most standard 1D, 2D and 3D cell topologies
Orientation tools to enforce matching of degrees of freedom on shared edges and faces
Projection-based Interpolations operators on H(grad), H(curl), H(div) and L2 that are optimally accurate and commute with the respective differential operators
5. 相关研究方向
与离散外积代数DEC(Discrete exterior calculus)强烈相关。
参考文献
1）M. Nakahara: Geometry, Topology and Physics, 2nd edition, 2003
2) Anh Tuan Phung et al: Automatic Cuts for Magnetic Scalar Potential Formulations, IEEE TRANSACTIONS ON MAGNETICS, VOL. 41, NO. 5, MAY 2005
3) M. Pellikka et al: Homology and cohomology computation in finite element modeling, SIAM J. Sci. Comput.,35(5), B1195–B1214
4) Alain Bossavit: Whitney forms: A class of finite elements for three-dimensional computations in electromagnetism, Science, Measurement and Technology, IEE Proceedings A, December 1988, p.493 – 500
5）Whitney, H: Geometric integration theory, Princeton Univ. Press, 1957
6) Douglas N. Arnold Finite Element Exterior Calculus， Siam， 2018
7) Douglas N. Arnold and Anders Logg, Periodic Table of the Finite Elements, SIAM News 47 (2014), No. 9
8) S Suuriniemi : Homological computations in electromagnetic modeling, Tampere Univ. Tech., 2004
9) M. Pellikka : Finite element method for electromagnetics on Riemannian Manifolds- Topology and Differential Geometry Toolkit, Tampere Univ. Tech., 2014
10) M. Pellikka : Homology and Cohomology Solver in Gmsh and its Applications, 2013
11）Gmsh 4.7.1 (development version)
12）Paul W. Gross, P. Robert Kotiuga : Electromagnetic Theory and Computation: A Topological Approach， Cambridge University Press，2004
13）P. Bochev, J. M. Hymen: Principle of mimetic discretizations of differential operators, in Compatible Discretizations, Proceedings of IMA Hot Topics Workshop on Compatible Discretizations, D. N. Arnold, P. Bochev, R. Lehoucq, R. Nicolaides, and M. Shashkov, eds., vol. IMA 142, Springer Verlag, 2006, pp. 89–120
14) P. Bochev, H.C. Edwards, R.C. Kirby, K. Peterson, D. Ridzal: Solving PDEs with Intrepid, Scientific Programming, Volume 20, Issue 2, April 2012, pp 151–180
