Cahn-Hilliard方程的有限元求解

1 Cahn-Hilliard方程

Cahn-Hilliard方程[1]原为描述相分离过程的微分方程，如今也被应用到多相流，图像修复，拓扑优化，分析腫瘍生长等[2]。其形式为：给定 c0:Ω→R ,求解 c:Ω×[0,T]→R 满足

,

在这里待求变量c为秩序変量(order parameter). M,λ 为常数， f 为系统自由能，是秩序変量c的函数。

由于一般的有限元方法只考虑在单元内计算待求变量的一阶导数，上面的四阶微分方程在一般的有限元方法中是没法求解的。为解决这个问题导入一个新变量化学势函数

如此方程（1)可分解为下述两个二阶微分方程

该方程为有限元法的求解对象。

2. Cahn-Hilliard方程的弱形式

待求变量c和 μ ，其变分形式为：求解 (c,μ)∈V×V 满足

该方程的右端项为系统向外面的流出项。 由于这类的问题一般不允许这样的流出，在大多数参考文献中都不含此项。以下我们也忽略这些流出项。

如果把变量c和 μ及其变分 δc 和 δμ用插值函数 ϕj 来表示 c=∑cjϕj ，则为

该方程即为有限元分析的控制方程。

3. 算例

下面为多物理场有限元软件（软件名待定）的计算结果。

该计算条件参考了文献【3】。

c值的时间演化277 播放 · 2 赞同视频

该计算结果可与参考文献【3】比较。由于采用的随机数，计算方法的不同。计算结果略有差异。

参考文献

1）J. W. Cahn and J. E. Hilliard, "Free Energy of a Non-Uniform System in Interfacial Energy" Journal of Chemical Physics, 28 (1958), pp. 258-267

2）Alain Miranville,"The Cahn–Hilliard Equation: Recent Advances and Applications"

3）

5. Cahn-Hilliard equationfenicsproject.org/olddocs/dolfin/1.3.0/python/demo/documented/cahn-hilliard/python/documentation.html