Schrodinger方程的有限元求解

1. Schrodinger方程

Schrodinger方程为波函数 ψ的演化方程。

在这里 ℏ=h/2π 为Planck常数，Hamilton H是位置x和动量p的函数。在没有磁场的条件下 p=−iℏ∇ 。由于粒子的能量是动能和势能V(x)之和

Schrodinger方程可表为

如果可以把波函数 ψ分解为时间函数和空间函数之积

方程（3）可以简化为

注意到该方程的左右端分别为时间和空间的函数，两端应该等于一个常数E。如此我们可以得到下面两个方程

方程（7）为不依赖与时间的Schrodinger方程。这是一个标准的一般固有值问题。

2. Schrodinger方程的弱形式

2.1 时间演化方程

2.2 固有值方程

3. 算例

下面为多物理场有限元软件（软件名待定）的计算结果。

下面计算一粒子在一维无限势阱下的，也就是势函数