Maxwell方程的有限元求解

1. Maxwell方程

可以从对（1.2）作div运算并带入（1.3）得出。

变量一览如下

方程（1）含八个方程用于求解六个待求变量（矢量E和B）。对（1.1）和（1.2）做div运算并带入材料本构关系和连续方程可以得到

也就是说

方程（1.3）和（1.4）告诉我们 c1=0;c2=0 。也就是说这两个方程给出了Maxwell方程的初始条件。因此在下面的议论中我们只需讨论（1.1）和（1.2）即可。

1.1 A−φ 势函数形式

由 ∇⋅B=0 可知B可以由矢量势函数 A表述为

B=∇×A

将其带入方程（1.1）可得

将其带入方程（1.2）可得

也就是说存在势函数 φ 使

将该式带回方程（2）得

该式为Maxwell方程的 A−φ 形式。

由于上述势函数有gauge不变性，比如将

代入上式，仍然满足方程（3）。在此我们导入一个新的势函数A*

该新函数满足

如此我们可以将方程变形为(把A*偷偷地改写为A)A形式公式

到这里我们把两个一阶的微分方程（1.1），（1.2）转换成了一个两阶的微分方程。从该方程求得势函数A后我们可以通过下面的关系式求得各电，磁场量

1.2 E场形式

从（1.1）和材料本构关系可得

对该式作时间微分得

该式为针对场量E的两阶微分方程。

1.3 B场形式

对（1.1）作div运算可得

该式为针对场量B的两阶微分方程。

1.4 E-B场形式

也有直接求解方程（1.1），（1.2）的，如文献[1]. 但是这意味着带求解自由度为6， 而不是1.1～1.3形式的3.

1.5 其他

采用各种势函数的种种[2]。

2. Maxwell方程的应用场景

图1 Maxwell方程的应用场景（TD: Time Domain; FD: Frequency Domain)

2.1 时频分析

在材质为线性并受频率为 ω 的激励下，我们可以设定变量U（代表H, B, E, D, J, ρ等变量）可以如下分离为位置x和时间t的函数

由此式可得

将这些式子带回Maxwell方程（1）得

和连续方程

2.2 准静-涡流问题

如果场量低频变化可以忽略位移电流，也就是说|∂D/∂t| << |J|时，Maxwell方程可以变形为

其时频形式为

2.3 静电问题

静态问题不包含时间变量。磁，电问题完全分离。静电场方程为

2.4 恒流电传导问题

考虑准静电场问题

2.5 静磁问题

静磁场方程为

3. Maxwell方程的变分形式

Maxwell方程大多（前述（7，8，9，12））表述为如下所谓Curl Curl形式

4. 静磁问题的有限元实现

在此我们尝试求解方程（12），参考（13）我们可以写出如下变分形式

这就是我们的有限元解析用控制方程。

• 关于有限元单元的选择: 早期的电磁学有限元采用的是节点有限元。也就是把代求自由度设置在节点上，然后作从节点向单元插值。但是该方法由于不便表现界面条件等原因渐渐被弃用。现在采用边单元（也被称为Nedelec单元, Whitey单元, Curl单元, Vector单元）是主流。本软件采用的是Nedelec单元。另外，方程（14）左边第二项出现div量，本软件采用Raviart–Thomas插值。

5 算例

下面为多物理场有限元软件（软件名待定）的计算结果。

5.1 验证计算

图2 表面电流产生的磁场

图2所示的表面电流J将会在正方形体内产生均匀分布的磁场B，该问题常常用于检验算法软件的正确与否。基于该问题的对称性，计算领域取上图的四分之一。

图3 计算结果：箭头为矢量势函数A的方向，颜色表示磁场强度（其方向与纸面垂直）

5.2 永磁体近旁磁场

图4 磁铁近旁磁力线

本计算试图再现图4的磁铁近旁磁场状况。基于该问题的对称性，计算领域取上图的四分之一。

图5 网格划分：采用六面体Nedelec单元，白色为磁铁位置，其他为空气

图6 磁场：箭头为磁力线方向，颜色表磁场强度

参考文献

1）Bo He; F.L. Teixeira：An E-B Mixed FEM for First-Order Maxwell Curl Equations

2）Miklos Kuczmann: Potential Formulation in Magnetics Applying the Finite Element Method