逆变矢量的几何表示
（本文首发于https://hillyuan.blogspot.com/2014/11/blog-post_21.html，略有修改）
有网友指出*两本教科书（参考文献[1]，[2]）上指出逆变基底不能随体变化。其原文如下
这样的写法很令人困惑。如果按其字面去理解，一个很麻烦的结果是你将得不到逆变基矢量的随体微分（convected derivative）,而没有这一客观性微分整个涉及逆变基矢量的运算法则都要重写。参考文献[1]则更加诡异，对应于上面的文字，作者认为参考构型的逆变基底是时间的函数！（图1中的 G1(t),G2(t) : Has to be reformed every moment with a deformation.）
图1 参考构型的逆变基底是时间的函数？
那么问题出在哪里呢？
参考文献[1]，[2]的作者都一下面的图来解释逆变基矢量的几何意义, 即将协，逆变基矢都理解为印刻在变形体有长度方向的线段(图2)。当物体变形是，协变基矢 a1,a2 随变形体一起变动, 而逆变基矢 a1,a2 不能随变形体一起变动。两位作者都是这样解释的。
图2 矢量的几何解释
问题就出在上述逆变基矢量的几何解释上。对于数学概念，It often seems like there are two types of students of mathematics: those who prefer to learn by studying equations and following derivations, and those who prefer pictures（[10]). 学数学的往往是第一类，更由于几何表示逆变基底或协变矢量比较复杂，你很少能看到在数学书上看到逆变基底或协变矢量的几何表示, 这对希望得到几何图像的第二类型的人造成了不少困惑（如[3-6]）**。 学工程的则是第二类，你可以在非数学类的教科书中看到图二的解释。这样的解释也许对理解逆变基矢量有所帮助，但是要了解这一解释并不严格，只能用于帮助你理解而并不是严格的定义，否则会如参考文献[1]，[2]导出错误的解释。
下面图3关于逆变矢量的几何解释出自文献[6-9]。在这里协变矢量被表示为一组面。 这一解释基于逆变矢量和协变矢量的对偶关系:一个逆（协）变矢量作用到协（逆）变矢量产生一个实数。这种几何解释也许不太好理解，但这里要强调的是逆变基底不能理解为上述作者所述附在变形体上的线段！在参考文献[6]中，逆变基底被解释为坐标超平面的法线，其随体变化则表征的该超平面的变化，是存在的。实际上，逆变矢量的convected derivative可以从其与协变矢量的对偶关系中推导出来。
图3 逆变矢量的几何解释
另外，在现代一点的电磁学教学中似乎有一些尝试画图表征各个物理量的（如下图[11]），可以参考。
如上所述，正是由于参考文献[1]，[2]的作者对逆变矢量几何意义的错误解释导致了逆变基底不随体变化的错误结论。其实我们并不需要对所有的数学概念画图，不信你画一个六维的矢量，四阶的张量试试 . 换一个角度来看，实际上有很多物理量我们是看不见的，比如说“力”。我们可以看到因力产生的运动，但并不能看到力。在这一点上逆变矢量与此类似。
最后介绍一个可以直观地表示逆变，协变矢量的软件GeoGeobra[12]。也算是给喜欢画图的同学一个交代！
参考文献
1. Koichi Hashiguchi, Yuki Yamakawa: Introduction to Finite Strain Theory for Continuum Elasto-Plasticity, Wiley, 2012
2. 黄克智: 张量分析, 清华大学出版社; 第2版 (2003年7月1日)
3. Geometric imagine of one forms: http://mathoverflow.net/questions/26939/geometric-imagination-of-differential-forms
4. Physical and geometric interpretation of Differential form: http://physics.stackexchange.com/questions/55751/physical-and-geometrical-interpretation-of-differential-forms
5. Help with geometric interpretation of 1-form: https://www.physicsforums.com/threads/help-with-geometric-interpretation-of-1-form.376475/
6. Are there pictorial examples that distinguish covariant and contravariant vectors?
https://arxiv.org/pdf/gr-qc/9807044.pdf
7 https://en. wi kipedia.org/wiki/Covariance_and_contravariance_of_vectors
8 http://en.wi kipedia.org/wiki/Linear_form
9. B.F. Shutz: A First Course in General Relativity, Cambridge, 2009
10 D. Bachman: A Geometric Approach to Differential Form, Springer Science Business Media, LLC 2006, 2012
11 Karl F. Warnick, Richard H. Selfridge, David V. Arnold
Teaching Electromagnetic Field Theory Using Differential Forms
注:
* 本文问题的提出出自http://forum.simwe.com/thread-1115839-1-1.html
** 张量分析中的逆变矢量，协变矢量也有称为矢量（vector）和余矢量或对偶矢量（covector，dual vector）的，在量子力学（狄拉克记号）中被称为ket和bra，在微分几何中则被称为切矢（tangent vector）和余切矢（cotagent），或矢量和1形式。
