应力张量为什么是对称的? 为什么是不对称的?
(本文首发于hillyuan.blogspot.com, 略有修改)
学过连续体力学(包括固体力学,流体力学等)都知道应力张量是对称的(下面将说明它是有条件的)。 对于初学者， 这似乎有些难于理解， 如https://forum.simwe.com/forum.php?mod=viewthread&tid=503234&highlight=%E5%89%AA%E5%BA%94%E5%8A%9B%E4%BA%92%E7%AD%89
奇妙的是， 有些专家也对此持疑。 如下图的例子([1] p.110)就出自中国力学院士的专著， 他给出了几乎与上面连接给出的同样的图来说明应力是不对称的。这就有点哭笑不得了。
本文试图对应力张量的对称性做一个较直观的但有些深度的解释。 在此之前，先指出上图论证的问题- 我们不能对连续体的一点（它的体积→零，表 面积→为零）的某一面施加外力， 也就是说不能直接指定应力分量。外力边界条件，一般有称为第二边界条件（[2]，p50）， 在这里你可以给出外力矢量（三个分量），而不是六个应力分量。因此上述论理是不成立的。
1 什么是应力？
要理解应力当然先要理解什么是力。
很多人认为牛顿第二定律给出了力的定义。但牛顿第二定律给出的力的计算式has no independent meaning（[4]）。 力的定义有一定的任意性， 它也许毫无道理，但并不奇怪（It may be gratuitous, but it is not bizarre[4]）。Feynman先生认为上述定义是无用的（[3]&12.1:The Newtonian statement above, however, seems to be a most precise definition of force, and one that appeals to the mathematician; nevertheless, it is completely useless）， 似乎不存在力的精确定义（[3]&12.1: If you insist upon a precise definition of force, you will never get it!)。既然两位诺贝尔奖获得者都这么说。 我们还是放弃在这里定义力， 假设它是一种基本物理量为好。 但是要注明的是， 在现代物理学中， 力不是基本物理量， 它一般被理解为能量的空间导数或动量的时间导数。 此时应力的定义也相应解释为能量密度的导数等(如[5])。 但本文不采用这种不直观的定义方法。
记过连续体一点x的任意切面（法线方向n）的表面力矢量场为f（n，x）。Cauchy定理指出
f(n,x)=σ(x)n
这里的 σ 即为Cauchy应力张量。
几乎所有的连续体力学教程都会写下上述Cauchy定理的证明， 但严格的少见。Cauchy定理仍然有议论的余地， 如放松定理成立的光滑条件，考虑上述表面力矢量场是法线方向的空间导数的函数，将其导入微分几何学等（[10]-[14]）。
2 为什么Cauchy应力张量是对称的
考虑一物体，其动量为 ∫Ωρu¨dv , 所受体积力为 ∫Ωbdv ，面力为 ∫∂Ωtds 。则由牛顿第二定律
∫Ωρu¨dv=∫Ωbdv ∫∂Ωtds (1)
其角动量平衡方程为
∫Ωx×ρu¨dv=∫Ωx×bdv ∫∂Ωx×tds (2)
由散度定理 ∫∂Ωtds=∫Ωdivσdv, 将其代入方程（1）得
∫Ω(divσ b−ρv˙)dv=0 (3)
由于该式在连续体内任意一点都必须成立， 得到平衡方程
divσ b−ρv˙=0 (4)
从方程（2）则可以得到应力张量的对称性。 方程（2）的最后一项 ∫∂Ωx×tds=∫∂Ωx×σnds=∫Ω(x×divσ ϵ:σT)dv (5)
将此式代入（2）并使用方程（4），即可得到
ϵ:σT=0 （6）
即Cauchy应力张量是对称。
如上所述，Cauchy应力张量的对称性来源于角动量平衡条件，如果
牛顿第二定律
Cauchy定理
成立，则Cauchy应力必然是对称的。
3 单独定义的应力没有什么实用意义（has no independent meaning）
上节的平衡方程（4）和Cauchy应力张量的对称性条件实际上只是牛顿定律应用于连续体时的再述。上述方程并未给出关于连续体变形的任何信息。为此，我们需要导出与Cauchy应力张量共轭的量，该张量与Cauchy应力张量的积表征连续体的变形能。或用现代物理学的语言来说，可以用来构筑变形体系统的Lagrangian或Hamilton。
与上节相似，体积力所作的功为 ∫Ωb⋅u˙dv 。表面力所作的功为 ∫∂Ωt⋅u˙ds 。则外力的总功W为
W=∫Ωb⋅u˙dv ∫∂Ωt⋅u˙dv (7)
其中，表面力的功 ∫∂Ωt⋅u˙dv=∫∂Ω(σn)⋅u˙dv=∫Ωdiv(σTu˙)dv=∫Ω(divσ⋅u˙ σ:gradu˙)dv (8)
该式的倒数第二项为变形体的动能， 倒数第一项为变形能。记 ε˙=gradu˙ 为应变速率，该应变速率张量为Cauchy应力的共轭量。这里可以看出，应变的定义也是能量守恒，牛顿第二定律和Cauchy定理的一个自然结果。
3.1 应力应变张量在不同构型(configuration)下的表达
由于连续体的形状是变化的，如同物理量可以在不同的坐标系下表示一样，应力，应变也可以在不同构型下表达。 下面是一个例子
考虑现在构型 Ω 下的变形能，它由Cauchy应力，应变速率表达. 下面我们将其变换到构型 Ω0. 两构型间的两点变换张量为F, Jocabian为J。
W=∫Ωσ:ε˙dv=∫Ωσ:（F˙F−1)dv=∫ΩσF−T:F˙dv=∫Ω0JσF−T:F˙dV
一般定义 P=JσF−T 为第一种Piola-Kirchhoff应力。它与 F˙ 共轭。 另外由于F不是对称的，所以第一种Piola-Kirchhoff应力不对称。
3.2 从能量表达式（7）推出平衡方程
从现代物理学的观点来看， 整个连续体力学都可以建立于系统的能量表达式。我们可以从能量表达式（7）出发， 利用Noether原理或标架不变(frame-indifference)得出各守恒定理如式（2），（3）。可参见如[15]，[16]）。也许对基础坚实的古典连续体力学来说这样做的意义不大，但如要构筑非古典连续体力学， 这是一个可靠的工具。
4 为什么应力张量是不对称的
如前文所指出， Cauchy应力张量的对称性得至于角动量平衡方程(2). 如果方程(2)不成立， 如将其改写为
∫Ωx×ρu¨dv=∫Ωx×bdv ∫∂Ωx×tds ∫Ωmdv (10)
则Cauchy应力张量就会变得不对称性。这里增加的一项m的物理意义为外部体力矩。这是一种假设，必须注意作出这样的假设必须至少考虑下面两个问题
如何在尺寸为零的点上施加力矩？
上面的方程式是否是frame-indifference的？如果不是，该假定是unphysical的，不能成立。
本文无意议论上述问题，在这里我们先放过了。
上述在古典连续体力学导入新的变量的想法其实并不新鲜，它最早出现在1909年（[18]）。Cosserat理论可以说是现在渐渐变得时髦的nonlocal continuum或 generalize continuum mechanics的鼻祖。在上世纪60年代对类似理论有详细的研究。这样构筑的力学体系于古典连续体力学大不相同，它们有自己的平衡方程，本构方程，Lagrangian或Hamilton. 在这些理论体系中，Cauchy应力有些是对称的（如couple stress theory, strain gradient theory），有些是不对称的（如micropolar theory)。本文无意讨论这些问题，下述文献[19]-[21]叙述的理论中的Cauchy应力都是不对称的。
5 结言：模型与现实
在本文中，我们提到了至少两类连续体模型：一类的Cauchy应力是对称的，另一类则是不对称的。我们在构筑模型时，第一要求模型体系是自洽的，即不是自相矛盾的。 经典连续体力学就是一个这样的严格的数学体系，在该体系下不能也不可能得到不对称的Cauchy应力。第二我们要求模型可以解释已知并且可以预测物理现象。进一步，如果模型的结果与现实不相符，该模型就需要修正或者放弃重构。由于经典连续体力学在某些方面的预测结果的精度不够，nonlocal continuum或 generalize continuum mechanics正是对经典连续体力学的修正。
6 题外的话：为什么应变张量是对称的？
在（8）式中，我们看到应变能为Cauchy应力和应变速率 ε˙=gradu˙ 的积。这里定义的应变速率不是对称的,它可以分解为对称部分和反对称部分的和。考虑到Cauchy应力的对称性, 应力张量与反对称张量的乘积为零，应变能实际上只和 gradu˙ 的对称部分有关，即 σ:gradu˙=σ:sym(gradu˙) 。这样应变速率可以定义为 ε˙=sym(gradu˙) . 这是常见的应变张量定义方法。
7 结言
经典连续体力学可以从1）牛顿定律， 2）能量守恒定理 和 3）Cauchy应力定理 严格推导而来。
参考文献
1. 陈至达: 理性力学, 2000，重庆出版社
2 穆什海里什维利: 数学弹性力学的几个基本问题
3 费曼物理学讲义， http://www.feynmanlectures.caltech.edu/
4 Frank Wilczek: Whence the force of F=ma? http://ctpweb.lns.mit.edu/physics_today/phystoday/%20Whence_cshock.pdf
5 Robert G. Brown, 2013: Symmetric stress tensor; http://www.phy.duke.edu/~rgb/Class/Electrodynamics/Electrodynamics/node147.html
6. M.E.Gurtin: A introduction to Continuum mechanics, 1981, Academic press
7 J.T.Oden:A short course on nonlinear continuum mechanics, 2008 http://users.ices.utexas.edu/~arbogast/cam397/oden0908.pdf
8 Miroslav Šilhavy：On Cauchy's stress theory, http://www.bdim.eu/item?fmt=pdf&id=RLIN_1990_9_1_3_259_0
9 R.L.Fosdick, E.G.Virga: A viariational proof of stress theoroem of Cauchy, Archives of Rational mechanica and analysis, 1998, p95-103
10 G. RODNAY AND R. SEGEV: Cauchy's flux theorem in light of geometric integration theory. http://www.bgu.ac.il/~rsegev/Papers/FluxGeomIntegration.pdf
11 Francesco dell’Isola et al; How contact interactions may depend on the shape of Cauchy cuts in N-th gradient continua: approach; http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/66/23/76/PDF/dellisola_seppecher_madeo.pdf
12 W. Noll: Thoughts on the concept of stress. http://repository.cmu.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1015&context=math
13 E.Kanso等:On geometric character of stress in continuum mechanics http://upcommons.upc.edu/e-prints/bitstream/2117/8516/1/kanso_on-the-geometric_2007.pdf
14 C.A.Trusdell: Cauchy and the modern mechanics of continua
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/rhs_0151-4105_1992_num_45_1_4229
15 P.Germain; The method of virtual power in continuum mechanics, Part II; SIAM J. Appl. Math, Vol. 25(1973), p556-575
16 G D Piero; On the method of virtual power in continuum mechanics. J. Mech. Mater. Struct., VOl.4(2009), p281-292 http://msp.org/jomms/2009/4-2/jomms-v4-n2-p07-p.pdf
17 G D Piero; Virtual power, pseudovalance and the law of action and reaction； http://www.fyffm2010.cnrs-mrs.fr/PDFs/Del_Piero_Gianpietro.pdf
18 Cosserat; E. & F., Théorie de Corps déformables, Paris, 1909
19 Eringen, A.C; Theory of micropolar elasticity, Defense Technical Information Center, 1967
20 Nowacki, W; The linear theory of micropolar elasticity, 1972
http://bcpw.bg.pw.edu.pl/Content/970/Micropolar_Elasticity_str1_43.pdf
21 Nowacki, W; Theory of Asymmetric Elasticity, Elsevier Science & Technology, 1986
