最小总势能原理

最小总势能原理(The Principle of Total Minimum Potential Energy,简称MPE)表述为：整个保守系统(Conservative Structural systems，机械能始终守恒的力学系统)在稳定平衡状态下的总势能，恒小于其他可能位移（指符合约束条件的位移）状态下的势能。应用数学概念，具体来说：对于所有可能位移，保守系统稳定状态下的总势能处于极小值点或任一领域最小值点。

最小总势能原理常应用于计算保守系统的稳定平衡状态。以最常见的小球在重力场下的受力情景为例，如下图所示。假设小球为刚体，则系统的总势能为小球自身的重力势能，根据最小总势能原理，小球的稳定状态下的总势能处于极小值点（下图中的三种情况里，所有可能位移连续光滑）。小球所有可能的位置为地面边界，记其自然坐标为L，小球总势能正比于其重心高度h，有：

推广的一般形式为：

其中，dII=总势能在可能为位移下的微分。但上式并不是最小总势能原理的等价描述，还需要满足一下条件：

MPE原理是弹性力学的能量原理之一。为将弹性体结构看作是一个保守系统，假设弹性体在收到体力f、面力T和点力P作用下发生肯泵位移时，外力都为恒力（即保守力-Conservative force，指所做的功跟移动路径无关的作用力）。此时，整个弹性系统的总势能II由弹性势能U(Strain energy)和保守机械能W(Work potential)组成。

保守机械能是指保守力做功的能力，常见的保守力有重力和电场力。保守机械能只与位置相关，沿保守力方向移动时保守力做正功释放能量，反之则做负功储存能量。

假设上述弹性体发生变形u，且变形前保守机械能为零，则变形后的保守机械能为：

其中：

u=位移向量的空间分布函数，元素为不同方向的位移分量

ui=力Pi作用点的位移向量

f=单位体积作用力向量的空间分布函数，元素为不同方向的体力分量

T=单位面基作用力向量的空间分布函数，元素为不同方向的面力分量

Pi=有限个点力向量P1，P2，P3……的空间分布函数，元素为不同方向的点力分量

V=弹性体的体积

S=弹性体的面积

弹性势能是指弹力的做功能力。基于小变形假设，弹性体的弹力与变形成正比，则弹性势能为力与位移乘积的一半。可以取一微元单独分析仅受正应力和仅受剪应力的情况，再应用叠加原理得到一般受力情况。

综上，弹性势能密度（单位体积的弹性势能）可以一般性的用应力与应变乘积的一半表示，则弹性体的弹性势能可以写为：

弹性体的总势能则为：

因为在线弹性、小变形问题中，弹性势能是可能位移的二次函数且在弹性势能为零的位置娶极小值，保守力机械是可能位移的一次函数，所以总势能是可能位移的二次函数，有且仅有一个极小值点。根据MPE原理，弹性体在受到体力f、面力T和点力P作用下的平衡位移u满足：

上述表达式和可变形体的虚功原理（达朗贝尔原理）的表述等价：一个系统处于平衡状态，外力做的虚功等于内力做的虚功。虚功指力在虚位移下所做的功，虚位移指无穷小的可能位移（可以理解为可能位移u的微分）。上式变换后的左边就是外力所做的虚功，右边就是内力所做的虚功。

用有限元方法求解弹性力学问题时，会将外力都等价转化为节点力。以一个单元为考察对象，其总势能可以写为：

根据单元的形函数和材料本构，可以确定单元的刚度矩阵，上式可写为：

从上式可以看出总势能是位移的二次函数，其极值点在两根的中点：

将所有单元的上式方程进行组装，就是有限元计算弹性力学问题时需要求解的核心方程：

其中：

K=总体刚度矩阵

u=平衡时的节点位移总向量

F=节点外载荷总向量

实际上，对于一个线弹性保守系统，记变形前保守机械能为零，则满足MPE原理等价于：