数字补偿器的数值变换过程
前述文章，BUCK电路模拟补偿器的数字化过程，我们讨论了由设计好零极点的模拟补偿器，如何得到对应z传递函数的系数，但是这些系数都是实数，它在定点计算的MCU内是无法直接实施去计算线性差分方程的，所以我们必须进行一定的数值变换，以方便定点MCU处理。另外，为了利用16位MCU的最大字长，我们需要对系数进行一定的缩放以满足其最大表示范围。本文就详细探讨一下这些为了得到MCU处理的定点数据而进行的数值变换过程。
一.定点MCU对实数的处理
以8位的整数为例，我们先回顾一下整数所表示的数字范围。图1中，列出了8位有符号数表示的范围，最高位为符号位S，可知8位整数表示的范围-128-127，这种格式可以称之为I0Q8，每一位表示的精度为1.
图1 I0Q8的数据表示范围
如果我们改为I5Q3这种形式，看看相应的范围和精度是多少呢？相应的，由于I5Q3格式由5为整数，3位小数，所以在bit2和bit3之间放一个隐藏的小数点，如下计算出来对应的正数最大值为15.875，最小负数为-16，每一位表示的精度为0.125.
图2 I5Q3的数据表示范围
从上述分析，可以看出，当表示位数一定的情况下，整数位越多，则精度越低，但是表示的数据范围大。小数位越多，则精度变高，但是表示的数据范围比较变小。
由于我们的MCU sPIC33C是16位的处理器，数据位数为16位，所以，为了可以在计算中实现最大精度，通常采用Q15格式来表示实数，Q15即I1Q15,具有1位整数，15位小数。我们接下来看一下Q15格式小数表示的范围是多少？
图3 Q15的数据表示范围
从图3可知，Q15最大的正数是0.99996948，而最小负数就是-1，每一位的精度为0.00003051758，所以，只要让补偿器中的系数转化为-1到0.99996948之间的小数用Q15格式表示，MCU就可以去处理这些小数的计算。
二.数字化过程的增益系数
模拟补偿器进行数字化后，和原有模拟补偿回路的差异是，除了补偿器本身的增益之外，引入了一些额外的数字化的增益，如图4所示。
图4 数字化引入的增益计算
举例来说，电源开关频率为500k，输出采样分压电阻为1k和1k，同前述文章中的设定，在高分辨率模式PWM下周期为8000，ADC供电为3.3V,且保持12bit精度。
首先，由分压电阻造成的增益为1k/2k，即0.5，这个很容易理解。其次，ADC造成的增益为4095/3.3，因为通过ADC将模拟量转化为一个数字，转化系数就是4095/3.3.再次，从补偿器计算值，到占空比，也引入了一个系数1/8000.
总的增益系数K1如下式所示，
所以在进行数字补偿器设计时，为了不改变环路增益，我们需要将这部分增益抵消掉,即乘以K，而K=1/K1，此处示例中，计算出的K系数为12.89.
三.Z传递函数的实数系数变换
由第二部分的讨论得知，在数字补偿器计算结果输出给PWM之前，为了抵消数字化过程的额外增益，我们用一个系数K去乘以计算结果，再给赋给PWM模块的占空比寄存器，这样导致的结果是每一次环路计算都要做一次固定的乘以K的动作，这显然是比较费时间，且无意义的，如图5所示。
图5 数字化环路的额外增益抵消计算
图6 数字补偿器表达输出量
我们对数字补偿器进行变换，如图6所示，用z变换传递函数表示输出量，则发现如果对输出量进行乘以一个系数K,那么只是分子中的B系数和K相乘就可以了，A系数是没有影响的。那么我们可以等效为对B系数进行乘以K的变换，得到新的B系数，而将K设为1即可，以此简化运算。
接下来，我们需要通过移位将A,B系数变为-1-0.99996942之间的数据，并且为了最大程度利用16位MCU的字长，需要将这些数据其中的最大值变为0.99996942，当做完这些移位和缩放操作后，A,B系数可以表示为Q15数据格式，但是需要注意的是在反馈计算量结果yn之前，需要进行反缩放，以保持数据范围不变，如图7所示。
图7 AB系数的移位缩放和反移位反缩放
接下来，我们通过实例进行说明。
根据前述分析，首先我们将得到的B系数乘以一个K值，这个K值在前面的示例中为12.89，得到如下的修正后的B系数，A系数保持不变，K最后设为1.
图8 B系数统一乘以K增益系数
然后同时对A,B系数做缩放，此处通过右移5位，让它处在Q15小数表达的范围内，即-1-0.9999694824219之间，如图9所示。
图9 A,B系数的统一缩放至Q15小数范围
图10 A,B系数放大G2倍充分利用16位字长
图11 计算G2缩放倍数
通过图11所述关系，将缩放后的AB系数中最大值乘以一个数字，变为0.9999694824219求得G2系数，即将A,B系数同时乘以G2,让最大的数达到Q15的最大值，0x7FFF,如图10所示，以便充分利用16位的最大字长。
图12 Q15格式的数据
由最终得到的小数，乘以32768，进而得到相应的16进制数据，如图12所示，最后一列就是我们需要放到SMPS控制库函数中进行计算的Q15数据。
四.采用DCDT工具进行实际验证AB系数
图13 DCDT插件工具
DCDT工具是一个在MPLAB XIDE中运行的插件，它可以帮助用户计算数字补偿器的相关实数系数及Q15数据。DCDT的具体安装我们后面有机会再做具体说明。
这里我们以上述实例，基于已有的电压模式控制buck电路功率级传递函数，做相应的变换，在DCDT工具中得到对应的Q15数据，及相关的系数。
具体示例对应图4中的描述，我们把图4直接搬到此处，如图14所示，方便分析。
图14 基于DCDT分析的功率级被控对象
根据图14所示的基本条件，及第二部分讨论的K系数计算方式，可计算出相应的K系数为12.89.
图15 DCDT中选择单环设计电压模式补偿器
由于是电压模式buck电路，因此在DCDT的页面上，选择单环补偿器，如图15所示。
图16 DCDT中写入功率级零极点
基于功率级特性的研究，我们填入相应的零极点，如图16所示，并调整Gain系数Kdc满足真实的低频增益，在图17，图18中得到相应的功率级增益和相位曲线，当然也可以用仿真的方式将数据导入这里，或者用实测波特图的方式将数据导入到这里，这里不做太多说明。
图17 功率级增益曲线
图18 功率级相位曲线
图19 设置输出分压电阻及ADC相关参数
根据电路硬件填入分压电阻，dsPIC33CK的ADC为12bit分辨率，且转换时间在300ns以内，供电为AVDD电压3.3V,输出电压我们这里案例为3.3V，如图19所示。
图20 设置补偿器零极点
根据功率级的零极点，我们设置相应的补偿器的零极点位置，补偿器的直流增益，根据参考文档，我们设为默认值1。如何设置补偿器零极点频率这里我们不做详细探讨，请参考前述文章，BUCK电路电压模式CCM环路补偿设计及仿真 .
图21 设置PWM相关配置
此处由于我们使用dsPIC33CK器件，因此我们按照250ps的最大PWM分辨率，且每一个周期都进行ADC采样，则采样系数为1，开关频率为500k，对应采样间隔频率就是500k，其它值为估计值。此处注意，实际应用中，需要用户确保合适的采样频率以满足环路运算和执行其它任务。
图22 得到实数的原始数字补偿器系数
得到的原始的数字补偿器系数，和前述文章通过我们另一个工具DCLD得到的系数是完全一致的，因为他们对应相同的零极点的数字补偿器，工具计算结果非常准确，如图22所示。
图23 选择实施Kuc增益系数
点击实施Kuc增益系数后，如图23所示，可见B系数被乘以Kuc了，A系数保持不变，此处DCDT计算出来的Kuc和我们前面部分手动计算的结果12.89一致，当然也可以在补偿器Kdc中输入这个值，也可以得到相应的改进后的B系数，如图24所示。
图24 直接采用Kdc引入Kuc增益
图25 实施系数归一化
点击实施归一化后，可见A,B系数都经过缩放后变到-1-0.9999694864219之间的数据，且经过一个放大系数G2使得最大的值变为接近0.9999的值，此处DCDT显示出它经过了5位移位，最大系数数据为28.49，则调整系数1/G2为29181对应的Q15小数，如图25所示。
图26 模拟和数字化后的补偿器增益曲线
图27 模拟和数字化后的补偿器相位曲线
由图26，27所示，可见模拟补偿器和数字补偿器在100k以上有较大的不一致，但是100k以下基本重合，蓝色为双线性变换后的数字化补偿器，红色为模拟补偿器。
图28 模拟和数字化的loop增益曲线
图29 模拟和数字化的loop相位曲线
由上述环路增益和相位曲线来看，图28，29所示，在低频和中频段数字化增益和相位和模拟的增益和相位曲线较一致，但是高频下数字化曲线（黑色）有一定的下掉，这是因为数字化过程对系统造成一定的相位损失。
图30 数字补偿器和对应的Q15格式数字
图31 最终的数字补偿器AB系数
图32 DCDT工具的作用说明
总结，通过分析MCU内部对实数的处理方式，重点讨论了Q15的定标方式，然后分析了数字化过程中方便MCU处理所做的一系列的缩放及系数变化措施，最后通过实际计算和DCDT工具计算得到一致的结果，这个结果就可以在MCU中结合数字补偿器的库函数进行运算。
事实上，用户只要能够理解如何设置系统零极点频率，DCDT就可以帮助产生相应的z传递函数的系数，及对应的Q15格式数据，在dsPIC33中去用SMPS控制库执行补偿器，如图32所示。以上对理解数字补偿器的数学变化过程有一定的帮助。
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