复杂工程建模和模拟的验证与确认

在科学和工程设计过程中，理论、实验和数值模拟是 3 种基本研究手段，现代计算机硬件和软件能力的飞速发展为强化高性能、大规模数值模拟研究提供前所未有的条件，数值模拟的重要性愈加显著．数值模拟中建模和模拟( Modeling and Simulation， M＆S) 本身的可信度评估是高置信度数值模拟的核心，直接影响基于数值模拟和少量试验支撑的复杂系统的可靠性认证． 验证和确认( Verification and Validation ，V＆V) 是复杂工程系统可靠性认证中 M＆S 置信度评估的重要手段． 近年来，随着数值模拟系统日益广泛应用，V＆V 的重要性愈来愈为数值模拟系统开发者和使用者所重视，对 V＆V 概念、理论、标准和相关方法的研究已成为复杂工程 M＆S 可信度评估的重要内容．

1． 1 国外研究现状和发展趋势

数值模拟在工业设计、产品性能分析和优化设计中的地位日显重要，国外尤其是美国非常重视 M＆S 的 V＆V 的概念、术语、规范、可信度评估方法和应用等的研究。

1． 1． 1 概念、术语和规范

早在 20 世纪六七十年代，美国计算机仿真学会 ( Society for Computer Simulation，SCS) 成立模型可信性 技 术 委 员 会 ( Technical Committee on Model Credibility，TCMC) ，专门进行与 M＆S 置信度评估相关的 V＆V 方法的概念、术语和规范的研究． 在 20 世纪 90 年代确定的 V＆V 哲学观点无法对工程和技术领域的仿真结果进行可信性评估． 20 世纪 90 年代以后，由于 M＆S 置信度评估在国家重大工程的研发和设计中的重要性越来越强，国外许多政府、民间部门和学术研究机构先后成立相应的组织或协会，以制定各自的 M＆S 置信度评估及 V＆V 的概念、术语和规范． 美国几大工程协会不断组织人力、投入资金开展 M＆S 置信度评估概念、术语和规范的研究． 自1984 年美国电器与电子工程师协会 ( Institute of Electrical and Electronics Engineers，IEEE) 出版 V＆V 相关术语至今，V＆V 相关概念、术语、规范一直都在完善． 这些术语随后被美国核科学协会( American Nuclear Society，ANS ) 和 国 际 标 准 化 组 织 ( International Organization for Standardization，ISO) 采用，建 立 各 自 领 域 的 标 准， 美 国 航 空 航 天 学 会

( American Institute of Aeronautics and Astronautics， AIAA) 组织各个不同行业的代表进行研究，于 1998 年起草计算流体动力学验证和确认的指南; 2010 年以来在此领域一直很活跃的 OBEＲKAMPF 等^［1］对此进行系统总结，综述机械工程领域现代数值模拟中 M＆S 的 V＆V 的发展，详细全面论述 M＆S 的 V＆V 的基本概念、原理、步骤和系统的发展过程． 1996 年，美国国防部( Department of Defense，DoD) 的国 防 建 模 与 仿 真 办 公 室 ( Defense Modeling Simulation Office，DMSO) 成立军用仿真 V＆V 工作技术 支 持 小 组，专 门 制 定 验 证、确 认 和 认 证 ( Verification，Validation and Accreditation，VV＆A) 技术发展的政策与规范，并逐渐形成系统仿真领域的 VV＆A 体系．^［2］1998 年，美国能源部( Department of Energy，DoE) 的 3 大实验室逐渐将 V＆V 引入武器库存管理计划，给出 M＆S 中准确度、误差、不确定度和确认域的概念内涵、M＆S 的 V＆V 涉及的几个重要模型( 客观世界、概念模型、物理模型和计算模型等) 以及 M＆S 的 V＆V 活动的关系，其目的是通过V＆V 量化物理建模中模型的不确定度和程序研制中数值算法的误差，增强高置信度的数值模拟能力．

1998 年，美国机械工程师协会( American Society of Mechanical Engineers，ASME ) Journal of Fluids Engineering 杂志成立协调小组． 该小组的工作重点是推动对数值模拟中误差估计，不确定度量化、验证和确认以及置信度评估方法的讨论． 该小组组织一系列 ASME 论坛和研讨会讨论上述主题，并逐步编写和颁布系列 V＆V 标准: 2006 年颁布关于“计算固体力学 V＆V 的指南”，即 ASME V＆V 10-2006 Guide for Verification and Validation in Computational Solid Mechanics; 2009 年颁布“计算流体力学和传热学的 V＆V 标 准”，即 ASME V＆V 20-2009 Standard for Verification and Validation in Computational Fluid Dynamics and Heat Transfer; 2012 年颁布“计算固体力学 V＆V 概念的案例说明”，即 ASME V＆V 10． 12012 An Illustration of the Concepts of Verification and Validation in Computational Solid Mechanics． ASME 经过二十几年的发展，在复杂工程 M＆S 的 V＆V 的概念和方法上取得显著成果，但仍将 M＆S 的 V＆V 涉及的概念在不同领域的本地化作为研究核心，至今仍在结合实际应用研究完善相关概念、术语和规范．

1． 1． 2 M＆S 置信度评估方法

迫于核武器禁止试验的压力，美国核武器认证工作的基础由以核试验为主转移到以计算仿真为主，提出核武器储存管理计划( Stockpile Stewardship Program，SSP) ，并由此产生武器认证新方法———裕度和不确定性量化 ( Quantification of Margins and Uncertainties，QMU) 方法． 1998 年美国提出的加速战略计算创新计划( Accelerated Strategic Computing Initiative，ASCI) 和 随 后 提 出 的 先 进 模 拟 和 计 算 ( Advanced Simulation and Computing，ASC) 计划一直强调 M＆S 置信度评估方法和数值模拟中误差估计，将不确定度量化方法作为成功实施计划的关键之一． 对于数值模拟中的误差和不确定度，在 1986 年，ＲOACHE 等^［3］就意识到数值计算中不确定度对数值模拟结果评估的重要性，要求论文对计算结果的精度必须给出必要的量化信息． 虽然该要求顺应数值模拟发展的需求，但在执行过程中仍遇到极大阻力． 1993 年 9 月，ASME Journal of Fluids Engineering 杂志再次就数值模拟准确度的控制明确提出 10 条要求^［4］: ( 1 ) 必须描述计算方法的基本特点; ( 2 ) 计算方法空间至少为 2 阶精度; ( 3 ) 必须评估固有的或显式的人为黏性，使之最小化; ( 4 ) 必须有网格独立性或收敛性说明; ( 5 ) 必须给出适当的迭代收敛性信息; ( 6 ) 在瞬态计算中必须评估相对误差并使之最小化; ( 7 ) 必须详细说明初边值的数值实现和精度; ( 8 ) 已有程序的引述必须全面; ( 9 ) 对特殊问题可采用标准算例进行确认; ( 10 ) 可采用可靠的试验结果确认数值解． 这些要求被认为是数值计算类论文发表广泛采用的规则，基本涵盖验证、确认和文档等方面内容．^［5］1993 年美国航空航天局戈兰研究中心负责执行面向应用的计算流体力学研究国家项目( National Project for Application oriented Ｒesearch in CFD，NPAＲC) ，开展军事背景很强的航天和航空领域相关 M＆S 置信度评估研究． 该项目给出数值计算的不确定度采用网格收敛指数方法，确认活动采用不同的层级: 单元层级( Unit Case) 、标准算例层级( Benchmark Case) 、子系统层级( Subsystem Case) 以及全系统层级( Complete System Case) ． 20 世纪 90 年代末，基于 M＆S 的特点、近似( 方程、求解和程序等) 和效果( 误差、量化和范围等) 等，将 V＆V 引入复杂工程 M＆S 可信性和数值模拟预测能力评估中． NPAＲC 每年召开为期 2 天的学术研讨会，交流、评估 V＆V 的最新进展，所有信息均在专门网站公开发布． 2000 年以来，美国 3 大国家实验室在软件质量保证( Software Quality Assurance，SQA) 、精确解方法 ( Exact Solution Methods，ESM) 、人工构造解( Method of Manufactured Solution，MMS) 、程序对比( Code-toCode Comparisons，CCC) 和网格收敛指数方法( Grid Convergence Index，GCI) 等 M＆S 可信性评估验证技术方面取得很好的效果．^［6-7］2005 年，美国 3 大国家实验室在 M＆S 置信度评估的验证技术方面实现某些自动化，如误差分析的自动化、不对称检测自动化和自适应加密网格情形下的分析检测自动化等． 2009 年 HELTON 基于 Ｒichardson 外推法与 GCI 方法，采用双层概率抽样方法，对误差的累积分布函数 ( Cumulative Distribution Function，CDF) 和互补累积分 布 函 数 ( Complementary Cumulative Distribution Function，CCDF) 进行统计分析，给出 M＆S 误差和不确定性敏感度的评估方法． 此方法为独立因素或独立参数影响 M＆S 置信度的评估提供较好的方法． 为了解多因素耦合对 M＆S 置信度的评估，2006 年美国将多项式混沌( Polynomial Chaos，PC) 方法^［8］引入 M＆S 不确定度评估中，发展多因素耦合影响 M＆S 置信度、数值模拟中误差估计以及不确定度量化和传播的评估方法． 至今，发展 M＆S 不确定度量化和多因素敏感性分析方法仍是 M＆S 置信度评估研究的核心。

1． 1． 3 M＆S 置信度评估体系的应用

近几年，美国核武器 3 大实验室针对一些 ASC 多物理过程 M＆S 的应用程序，继续实施 V＆V 的过程，以评估程序的预测能力． 如美国劳伦斯·利弗莫尔 国 家 实 验 室 ( Lawrence Livermore National Laboratory，LLNL) 开发通用有限元软件 ParaDyn; 桑迪亚国家实验室( Sandia National Laboratories，SNL) 研制的氦气流的时间过滤 N-S 闭合方程的简单湍流模型计算软件 SIEＲＲＲA/Fuego，首先用氦气流的试验作为 SIEＲＲＲA/Fuego 确认的问题，用侧风试验装置( Cross-wind Test Facility，CTF) 上电偶热响应试验对预测模拟 Fuego 程序进行不确定性量化和确认过程． SNL 开发多物理、海量并行计算环境中的用于设计优化、参数估算、不确定性量化和灵敏度分析的多级并行目标定制工作框架 DAKOTA^［9］，气体动力学激波反射问题模拟程序 ALEGＲA 和封闭流模型 GOMA 等，开展程序 V＆V 活动，取得很好的成果． 2006 年 LLNL 完成第一个多物理机理内爆反应程序的置信度评估活动应用程序，其中单物理过程的测试算例来自美国核武器 3 大实验室共同开发的标准算例库 Benchmark Problems^［10］，多物理机理耦合算例源自于 JOWOG 42 测试算例库． M＆S 可信度评估体系的完善和发展仍然是其应用研究的瓶颈，并且在基准解程序库建设方面提出更多更复杂的测试问题，希望能提高美国模拟程序中 M＆S 的质量和置信度。

从几个公开的网站看，针对 NASA 湍流模型及 CFD 在线、流体、湍流和燃烧数据库，欧洲研究团体都在建立公开模型测试库。

SNL 于 2006 年 12 月完成核弹头 W76 和 W80 火烧实验模型的确认工作，并给出安全裕量和不确定度． 项目评审委员会认为: 这是历史上第一次将 QMU 分析方法用于核战斗部的评估，而早先的评估主要是基于专家判断和少量的试验数据; 可以通过 QMU 过程为武器系统认证提供额外的量化证据，有能力根据核武器安全要求认证不确定度和安全裕量． 2006 年在 SNL 召开的会议上提出模型确认的 3 个挑战问题^［11］，包括热传导、静力学和动力学等，用以集中探讨模型确认的各种解决方法。

值得关注的是建立测试、考核和评估应用程序的标准模型( Benchmark Problems) 库和开展校准应用程序的基准试验( Benchmark Experiment) 研究是未来实施 M＆S 的 V＆V 的关键。

1． 2 国内研究发展状况

国内在应用软件 M＆S 领域也开展大量关于软件的 VV＆A 的工作，并取得一系列成果． 哈尔滨工业大学院士王子才等^［12］和杨明等^［13］在复杂仿真系统建模-算法-评估方面开展大量研究，提出 VV＆A 发展的关键问题． 西安空军工程大学导弹学院在军事仿真系统 VV＆A 的概念、术语和原则、可信度评估及模型验证方法等方面取得很好的成果．^［14-15］这些软件大多为控制软件，即在算法和软件实现正确的情况下给定输入就会产生准确可知的确定性输出，而基于微分控制方程组物理建模的科学和工程数值计算，因 M＆S 本身存在不确定性，无法知道复杂工程领域的准确计算结果． 西安第六三一研究所在航空动力学 CFD 的验证、确认和置信度分析等方面开展大量工作，并在外流问题数据库建立方面取得可喜的成果．^［16-19］中国空气动力研究与发展中心对计算流体力学的验证、确认和实践应用软件的不确定度与真值估算方面进行研究．^［20］中国航空工业航空气动力数值模拟重点实验室和中国航空研究院数值模拟技术研究应用中心在 CFD 模拟置信度评估和 V＆V 涉及的相关概念、术语以及 V＆V 在航空气动力数值模拟置信度评估方法研究方面开展大量工作，包括 SQA，MMS，误差分析和不确定度量化等方法．^［21-22］中国船舶科学研究中心在船舶动力学 CFD 不确定度分析方法方面展开大量工作，并将 V＆V 技术应用到船舶水动力学数值模拟置信度评估中，取得较好的结果．^［23］华北电力大学在 CFD 误差分析及网格收敛性方面开展研究工作．^［24］2005 年，中国工程物理研究院总体工程研究所及北京应用物理与计算数学研究所展开对 V＆V 的概念和知识体系的研究，在 V＆V 基本框架和用于测试程序的基准模块库等方面开展工作．^［25］在一些高校和研究所也有一些零散的工作．［26-27］

总体来说，我国对 M＆S 置信度评估及 V＆V 的研究仍处于起步阶段，表现为研究工作比较分散、缺乏规模，大量工作都是结合调研开展的前期研究，尚未建立关于 M＆S 置信度评估及 V＆V 的概念体系，对可信度评估理论和方法也没有形成统一的标准．在 M＆S 的开发过程中对置信度评估及 V＆V 工作的重要性和必要性缺乏认识． 特别是国内还没有类似于美国 TCMC 这样的专门机构负责协调，更没有组织国家级团队对 M＆S 置信度评估及 V＆V 技术进行专门研究，使得这方面的研究工作进展缓慢． 我国至今还没有 M＆S 的 V＆V 的标准/规范，使得 M＆S 的开发者、应用者和管理者在进行 M＆S 置信度评估工作过程中无章可循、无法可依，例如对于 M＆S 的 VV＆A 的中文解释就有“校核、验证与确认”“校核、验证与验收”“验证、证实和认可”“确认、验证和认可”和“验证、确认与认证”等多种不同的提法． 在复杂武器系统，国内仅基于过去的一些做法，尝试一些置信度评估方法，真正应用于实际模型 V＆V 的工作研究甚少，M＆S 置信度评估体系几乎是“零状态”。

2． 1 M＆S 可信度评估与 V＆V 的关系

复杂工程数值模拟涉及两大重要过程: 一是建模，二是模拟． 复杂工程系统可靠性认证中 M＆S，V＆V 及评估和认证的过程见图 1．

图 1 复杂工程 M＆S，V＆V 及评估和认证过程

Fig． 1    Process in M＆S，V＆V and evaluation and accreditation in complex engineering

图 1 非常恰当地描述复杂工程系统可靠性认证 3 大手段理论、实验和数值模拟之间的关系及其涉及的 M＆S，V＆V 及评估和系统可靠性认证之间的关系． 系统由内到外分为 3 个层次: 可靠性认证、分层评估和 M＆S． 其核心层 M＆S 中的左列重点关注物理模型和开展确认试验，获取试验结果以及量化不确定度信息; 右列重点关注数学模型和开展数值模拟，进行代码验证和解法验证的验证，以判断程序是否能正确地求解数学模型，获取模拟结果及其量化数值结果不确定度的信息． 然后，将量化的试验结果与数值结果进行对比，开展确认活动，最终判断物理模型是否准确地反映相应的客观世界，以建立高置信度的分级 M＆S，最终形成全系统级的高置信度 M＆S 及软件平台以支撑可靠性认证． 另外，在核心层中往往需要通过计算程序的预计算为试验装置设计提供参考信息。

2． 2 M＆S 的 V＆V

由上述 M＆S 置信度评估与 V＆V 的关系可以看出，V＆V 是复杂工程 M＆S 置信度评估的核心． M＆S 的 V＆V 研究涉及的基本内容见图 2．

图 2 M＆S 的 V＆V 研究涉及的基本内容

Fig． 2    Fundamental contents in research on V＆V of M＆S

M＆S 的 V＆V 涉及 3 个方面的内容: 一是术语和概念; 二是原则、标准/规范; 三是方法活动/过程模型，包括验证、确认和基准数据库等 3 个方面．

2． 2． 1 术语和概念

对术语和概念的理解是开展 V＆V 的关键问题．初步编 写 复 杂 工 程 M＆S 的 V＆V 术 语 表，包 括 M＆S，V＆V 及认证与量化的一般术语和定义，以及M＆S 的 V＆V 过程模型/技术方法的概念与内涵．

2． 2． 2 原则、标准/规范

制定相关标准/规范对开展 V＆V 有重要指导作用． 研究编写复杂工程 M＆S 的 V＆V 涉及的原则、标准/规范非常重要． 复杂工程 M＆S 的 V＆V 涉及标准/规范技术框架见图 3，包括 4 个方面: ( 1) 相关概念、定义和术语规范; ( 2) 过程模型规范; ( 3) 文档规范; ( 4) 技术规范． 目前正开展相关内容的研究．

图 3 M＆S 的 V＆V 标准/规范技术

 Fig． 3    Criterions/specifications for V＆V of M＆S

2． 2． 3     验证

验证是通过将数值解与解析解或高精度解( 经验解) 进行比较，对数值误差进行量化，以确定计算软件是否正确求解方程，是一种数值分析活动． 验证包括程序验证与解法/方法验证．

程序验证分为 SQA 和数值算法验证． 解法/方法验证分为 GCI 验证和计算敏感性分析． SQA 的关键任务是建立合理的 M＆S 及程序研制的流程、标准/规范，以控制、监督、约束和指导程序的研制过程，提高程序的质量和编码的正确率; 采取若干有效方法，检测、辨别和消除程序中的缺陷和错误，确定程序能按要求正确运行，没有编码错误． 在复杂工程应用软件中，软件质量保证主要关注作为软件产品的程序应具有计算机科学和软件工程意义上的可靠性和健壮性，常采用静态分析、动态检验( 回归测试、黑盒测试和白盒测试等) 和正式分析等方法对软件质量进行分析和测试． 数值算法验证是对实施算法的流程( 伪代码或显示求解公式) 和基本特性的正确性检查，主要关注如何正确地程序化数值算法以及实施数值算法本身能否保持算法基本理论 ( 时空离散形式、精度、对称性、守恒性和收敛性等) 的正确性． 数值算法验证的目的主要是提供充足的证据证明程序化的数值算法执行正确且有预期的功能，常采用精确解方法、人为解方法^［28-29］和高精度程序解比较等方法或手段．

解法/方法验证主要是用数值模拟结果与精确解、人为构造解和高精度数值解进行比较，量化其数值误差和不确定度． 其核心是进行网格收敛指标验证以确定实际的收敛阶，通过分析对比实际收敛阶与理论收敛阶判断程序是否存在错误或缺陷． 另一方面是对数值模拟影响因素进行敏感性分析，以辨识和量化误差、不确定度和置信度． 数值模拟验证包括方法理论/网格收敛指标验证与计算敏感性分析．基本理论验证技术主要是分析方法的特性，量化各种误差和不确定度，常采用 GCI 方法． GCI 主要采用Ｒichardson 外推法建立估算网格误差． 常用的做法是针对计算问题建立多套计算网格，原则上要求多套网格自相似，即体现 Δt 和 Δx 为逐渐缩小的趋势，然后通过计算 L₁，L₂ 和 L_∞ 范数进行网格收敛性分析以确定实际的收敛阶． 该方法需要知道问题的精确解或采用固定不变的网格，对定常问题或单独考核格式的精度行之有效． 计算敏感性分析利用典型物理问题作为分析模型，结合已有的实验信息，分析论证数值模拟计算结果中由计算模型、计算参数和数值方法等引入的不确定度，以及数值计算中网格参数( 网格类型、尺寸和规模等) 、计算格式和参数 ( 时间步长、黏性等) 、计算过程中的误差时空演化特征分析等． 一般用概率和非概率方法辨识与量化误差、不确定度和置信度． 在一般情况下，将计算敏感性分析和网格收敛指标相结合，采用在计算条件变化的情形下对同一被模拟量进行多次抽样即复现性数值模拟分析方法辨识和量化误差、不确定度和置信度． 目前，用 CDF 方法可以量化数值计算的误差和置信度，该方法的优点是既能综合分析所有误差源，又能通过概率分布函数给出数值计算误差的不确定度．

2． 2． 4 确认

确认是对数值模拟结果、试验数据和真实行为三者之间进行相互比较，进而量化物理模型的精度．其计算结果用于确定模型与其试验之间是否存在可接受的吻合度． 确定可接受吻合度的关键在于试验结果与模拟结果的一致程度，即数值模拟在多大范围内可接受地再现建模人员对感兴趣世界的真实过程，其结果在多大范围内可接受地再现试验结果． 确认是将数值模拟结果与试验结果进行比较，对模型的不确定度进行量化以确定计算模型是否能正确描述客观世界，是一种建模活动( 简单地说就是是否正确求解正确方程 ) 。 因其主要采用对比方式，所以要求对试验和数值模拟的结构、条件等输入/输出描述清楚，主要包括:：( 1 ) 针对具体物理模型，构建验证层次图； ( 2 ) 确认试验( 单一试验、基准试验、子系统试验和全系统试验等) ;；( 3 ) 数值模拟结果与试验数据对比，以确定模型的适应性。

2． 2． 5 基准数据库

在 V＆V 活动中产生大量数据资源和文档，包括验证涉及的文档、需要的基准模型和确认文档、区域的基准问题等，如何有效管理和利用这些数据资源或文档是基准数据库要解决的主要问题． 在 V＆V 过程中要逐渐建立 V＆V 的基准数据库，通过数据库推断 M＆S 应用软件的置信度或给出在什么范围内置信度是多少，并作为预测分析的依据．

2． 3 M＆S 的 V＆V 的知识指南

V＆V 贯穿于复杂工程 M＆S 的整个过程，即贯穿于数值模拟应用程序研制的整个生命周期． M＆S 的 V＆V 的知识指南见图 4． 复杂工程可靠性认证中 M＆S 的 V＆V 的知识体系包括 4 个方面的内容: 验证、确认、预测和决策等． 验证需要解决的问题是程序是否能正确求解方程，确认需要解决的问题是程序是否能正确求解出方程，即验证要回答数值模拟程序是否能正确求解数学模型或给出求解模型的误差、不确定性大小及使用范围，确认要通过数值结果与物理模型试验的对比回答物理模型是否反映真实客观世界或反映真实客观世界的程度． 预测是利用 V＆V 的应用程序对未知问题的模拟过程，包括问题、计算和结果评估等． 决策是为开展可靠性认证规划、提供资源和利用各种信息对系统可靠性给出结论．

通过阐述应用程序 M＆S 的 V＆V 的含义，明确 V＆V 的过程、步骤及其技术，初步建立程序模拟误差、不确定度及置信度评估方法，给出用于数值模拟程序 M＆S 结果的部分验证技术．

复杂工程 M＆S 的 V＆V 相当重要，涉及的核心问题较多．

( 1 ) M＆S 的 V＆V 术语概念体系和置信度评价体系． 包括相关基本概念、术语和方法的描述，基于数值模拟和认知不确定性的复杂系统可靠性评估方法、流程和规范． 目前研究从方法学向实例化/本地化和实用方法转变．

( 2 ) 检验数值模拟方法求解系统/过程控制方程( 组) 正确性的验证和测试方法研究，包括数值分析基本理论，网格收敛指标验证，偏微分方程精确解析解、半解析基准解、高精度基准解、人为构造解和不同程序计算结果对比以及软件质量保证等程序正确性验证和测试方法． 目前亟须发展 M＆S 可信度评估中误差和不确定度量化、传播及多因素敏感性分析方法．

( 3 ) 检验数值模拟中物理模型准确性的确认考核方法，包括分层实( 试) 验设计方法、系统试验及其数据不确定度分析方法、计算结果与试验数据对比的不确定度分析方法以及计算结果预测的置信度评估方法研究． 重点应该发展确认域到应用域的预测方法．

图4 M＆S 的V＆V 的知识指南

Fig． 4 Knowledge guide for V＆V of M＆S

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