【理论】模态理论的进展

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引言

实测模态分析开始于20世纪30年代。最初用于测量飞机模态参数。当时用于测量动态力的传感器十分原始，采用的模拟处理方法又使处理过程十分费时，因此在大多数实际情况下不能应用。到了60年代，数字微机和富氏变换及快速富氏变换等数字处理技术的发展，使结构动力特性研究得到迅速发展，实验模态分析开始了新纪元。

近30年来，大量文献通过实验及数据处理来识别实际结构的动力学特性，发展了许多实验建模方法。把复杂结构的运动简化成模态模型，通过激励-响应的因果关系来描述系统中各环节的动态特性，大大简化了系统中求解的数学运算，而且也为应用控制理论和借助计算机实现最优控制提供了可能性。因此实验和计算模态分析的结合成为解决现代复杂结构动态特性设计的相辅相成的重要手段。模态分析涉及的内容有3方面：模态理论，动态测试技术，参数估计。模态理论是模态分析的基础。近几年来，它已经由传统的线性位移实模态、复模态理论发展到广义模态理论，并被进一步引入非线性结构振动分析领域。一些学者还发展了其他场的模态(如应变模态、应力模态)理论。本文主要就模态理论的发展进行综述。关于动态测试技术，参数估计的研究可参看文献。

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位移场线性实模态理论

传统模态理论包括实模态理论和复模态理论，它研究和描述系统的固有振动特性。其实质是一种坐标变换过程，即利用模态作为Ritz基，将结构的动力学方程解耦成为一系列单自由度动力学方程的总和，从而为理论分析或实验研究带来极大的方便。

实模态理论历史悠久，最初是由无阻尼的线性结构振动保守系统导出的，后来被推广到若干种特殊的结构振动系统，它的理论基础是正交条件。Rayleigh最早提出可以得到正交实模态的阻尼条件。而后Caughey提出更一般的阻尼对角化条件为

最一般的阻尼对角化条件也是由Caughey提出的：实模态方法可用于解决流固祸合振动问题。离散化后的流固祸合自由振动方程为

实模态方法可用于解决流固祸合振动问题。离散化后的流固祸合自由振动方程为

其中，质量矩阵M和刚度矩阵K正定对称，G为反对称藕合矩阵，它们可以表成以下分块形式：

其中，下标s代表固体，f代表流体，位移υ为固体基本变量，流函数Φ为流体基本变量。式(3)事实上是一种保守陀螺系统的自由振动方程。它的正交条件为

其中：

式(5)和式(6)称为广义正交关系。

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位移场线性复模态理论

对于线性非保守非经典阻尼多自由度系统已有许多研究。主要的方法有两种，一种是状态空间法，其优点是可以解耦，不足是人为增加求解未知量，另一种是位形空间法，这是习惯方法，其不足是不能利用正交条件解耦。Meirvoitch 1967年论述了非比例阻尼的复模态理论。Fawzy和Bishop 1976年在位形空间论述了一般复模态理论，建立了复杂的新的正交关系，然后再把响应按复特征矢量展开求解。胡海昌1980年得到了复传递函数的展开式，可以避开正交条件直接得到响应表达式。二该方法较上述两种方法有独特的特点。1987年Newland又在状态空间对复模态作了进一步的论述。国内倪金福和张阿舟，张阿舟和朱德懋，李德葆等都详细研究过对称系统的复模态理论；郑兆昌，谭明一用摄动法研究了复模态理论，用级数渐进展开法使实模态修正成复模态。近年来国内学者还在继续复模态的讨论和完善工作。

引入状态矢量Y，线性振动系统复模态情况的自由振动方程的等价特征方程为

其中：

由于A矩阵不是Hermitian矩阵或实对称，的伴随方程其左右特征矢量不再相同，故需研究原方程的伴随方程相应的特征方程为：

其中：

由特征方程可解得复特征值λi及对应的特征矢量Yi，并以共轭对出现。复模态的双正交条件，写成矩阵的形式为

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位移场线性广义模态理论

一般情况下线性结构振动系统的运动方程的等价特征值状态方程在形上仍可用方程(8)表示，其中M必须是可逆复矩阵或实矩阵，C，K可为任意形式的复矩阵。这种亏损系统不具有张满整个空间的完备的解耦特征矢量。为保证响应模态叠加结果的正确性和收敛性，需寻找并补充一些新的独立矢量，组成一个完备的独立矢量基以张满整个空间，使系统的运动能在该组基下得到正确的描述并在最大程度上解耦。任意矩阵A的特征值间题可表示为

式中U为广义模态矩阵，J为A的Jordan标准形，它具有如下形式：

一般线性振动系统的伴随系统，即A的共轭转置系统，其广义模态满足如下方程：

式中AH为A的共轭转置，JH为J的共轭转置，X为伴随系统的广义模

态矩阵。广义模态满足如下正交关系：

它是广义模态理论的基础。利用广义模态作为Ritz基，可使一般线性振动系统的运动方程得到最大程度的解耦。

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非线性位移模态理论

非线性结构振动问题日益受到人们的重视，提出了线性振动理论不能说明的一些现象和特点，如不具有线性叠加性。从本世纪20年代起，由于工业技术特别是无线电技术的发展，非线性振动理论获得了迅速发展。研究非线性的经典方法即正问题分析法(方程确定)发展较为成熟，发展了许多理论。研究方式主要有实验法，数值分析法和理论分析法。理论分析法还可分为解析函数法，定性方法和定量方法如摄动法、KBM法(渐近法)、多尺度法、谐波平衡法等等。近几年来，建立在线性振动理论基础上的传统模态分析与参数识别技术被引申到非线性结构振动分析的领域中，即发展了建立在实测基础上的逆问题研究方法。最早提出非线性系统模态概念的是美国加州大学伯克利分校的Rosenberg(1960年)。他提出了一种方法，利用非线性保守系统的模态将系统解耦，从而象处理单自由度系统那样得到多自由度系统的模态振动解；1965年Atkisnon和Bevelry，T.提出了一种适用于一种非线性耦合系统的非线性模态叠加技术，该方法是对单自由度非线性模态解的近似叠加法的扩展。此后又有不少学者对非线性模态叠加方法进行了研究，提出了不同的方法，如时变特征值特征向量法(Nickell，R.E.1975)和伪主模态叠加法(Bathe，K.I，etal.，1981；Kukreti，A.R.，etal.，1984；Manoach，E.1993，1994)。20多年来，不少学者对非线性保守系统模态的存在性、稳定性、拓扑性质、分叉特性及求解模态的解析方法和数值方法进行了大量的研究，取得了不少成果。80年代，刘炼生和黄克累进一步拓展了非线性模态的概念，突破了国外研究的模态概念，从而将非线性系统模态的概念由保守系统推广到非保守自治系统和非自治系统，由周期运动推广到非周期运动。将n维位形空间中的非线性系统映射到其一维子流形上来研究，从而达到系统解祸的目的。非线性系统振动方程为

式中qi(i=1，2，…，n)为广义坐标，为非线性映射，满足解的存在唯一性和对参数的连续依赖性条件。系统的模态为如下单值单调的二次可微映射：

将n维位形空间中的非线性系统(20)映射到其一维子流形上。式中若为非线性系统的模态坐标；

与线性系统模态相比，非线性模态具有显著的不同性质：

(1)非线性模态只具有解耦性，不具有叠加性。即对于线性系统可以利用模态的叠加得到系统振动的通解，而对于非线性系统，利用模态一般只能得到系统振动的特解。

(2)线性系统通常只有线性模态，而非线性系统除了具有线性模态外还具有非线性模态。

(3)线性系统独立非限定模态的数目不超过系统的自由度数，而某些非线性系统(如齐次非线性系统)独立非限定模态的数目却大大超过系统自由度数。

(4)线性系统独立非限定模态之间是加权正交的，而非线性系统独立非限定模态之间通常不存在正交关系。

(5)线性系统的模态是稳定的，而非线 性模态则具有分叉及混沌性质。

模态定义所描述的仍然没有突破Rosenberg提出的同步运动假设，即“相似(Similar)”模态的范围。而非线性系统中大量存在非同步运动，即存在“非相似(Non-Similar)”模态。90年代以来，国外学者做了许多工作。Vakakis，A.F.(1992年)，Happawana，G.S.等(1995年)，采用Mikhlin-Manevich渐进方法对非线性模态进行了深入研究，并进行数值验证，结果表明近似性很好。1993年，Shaw.s.w.和Pierre，c.采用状态矢量法和不变流形理论研究有限维非线性系统的模态，对状态矢量进行渐进展开，然后通过非线性坐标变换将非线性系统解耦为不变模态子空间，即变换为一系列独立的二自由度振子的形式进行研究。而且原系统的运动可通过近似非线性模态叠加得到。1994年，上述方法被推广应用于连续非线性系统的模态分析，用于求得分布参数系统如梁、板、壳以及流体表面波的非线性模态振型。该方法不仅适用于保守系统，而且适用于非保守系统，从而发展了既可用于描述相似模态，又可用于描述非相似模态的模态方法。

涉及物理非线性的非线性模态理论，还有陈前和朱德懋提出的弹性-粘弹性复合结构模态理论。文中引入增广状态变量，利用状态方程研究系统的特征解的性质，提出了“振荡模态”和“蠕变模态”的概念。关于塑性动力响应的模态近似方法可参看黄筑平和王仁的综述，其基本思想是要适当地选取一个初始速度和模态形式，使结构的速度分布始终具有这一相同的模这态形式。这样得到的解能够精确满足运动方程，而且整个问题可近似地简化为相应的单自由度问题。此外，郑兆昌和谭明一还研究了非线性系统的模态综合技术和数值方法。关于非线性结构模态分析、建模及参数识别的有关研究的综述还可参见文献。

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应变场/应力场模态理论

在运动机械或承受动载荷的设计中，动强度和动疲劳间题最引人注目。而这两个问题均与动应变、动应力有关。近年来，人们已经开始致力于研究如何直接用应变计来测量应变响应，从而建立应变-应力响应预测模型。国内外学者做了许多工作，将模态方法引入应力、应变场的分析中来，并已取得不少成果。Ewins 1984年提出了应变模态的概念。Staker，C.H.1985年直接运用应变传递函数进行疲劳寿命估计，但未给出任何证明。国内伊立言等1984年论述了利用电阻应变计测量位移模态的问题，也提出了应变模态的概念，引起了国内有关学者的兴趣。1988年李德葆、夏苏等人运用逻辑演绎法推导了应变频响函数矩阵的表达式，并进行了实验验证。随后，1989年李德葆等，Bernas-coni等，1996年Yam，L.H等同时运用对位移模态的微分运算的方法来推导和论述应变模态理论。由于完整地在数学上论证应变模态理论的困难，1990年Tsang，w.F.，1991年李德葆和罗京等都采用了有限元格式来验证应变模态理论，并采用计算仿真和实测进行比较验证。1992年、1993年及1996年，李德葆等发表的有关文章中还论证了应变模态的正交性问题。

应变模态法的基本思想是认为振动系统的应变场可由适当的特

征应变场按一定比例叠加来表达。它是与结构的位移模态相对应的。文[8]对此作了详细论述，建立了应变响应的复传递函数展开形式的预测模型。

其中，

此处为第k阶应变模态振型，它与第k阶位移模态振型{φk}相对应，{qr}为模态坐标；Yk是第k阶位移导纳；kk，mk，ck分别为第k阶的模态刚度、模态质量和模态阻尼，为应变模态矩阵，[φ]为位移模态矩阵。

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结束语

本文对近年来国内外在线性位移实模态、复模态、广义模态理论，非线性模态理论，应力应变场模态理论等方面的研究进行了简要的综合分析和介绍。传统的模态思想经过引申和拓展，显然是一种十分有效的研究方法。这种方法仍然处在发展阶段，许多问题还有待进一步澄清。如非线性模态解的稳定性、可叠加性，塑性有限变形中瞬时模态解的适用条件，应力应变场模态理论的严格的数学证明等等都有必要做进一步的探讨。

#The End #

作者：陆秋海 李德葆

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