有限元计算的面向目标误差估计

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摘    要

V&V(Verification and Validation), 即模型验证与确认, 是一种量化复杂数值模拟结果置信度的系统方法. 大规模的数值模拟往往不能确保高置信度, 数值模拟结果的置信度需要一种严格量化的方法. 对于有限元模拟问题, 获得近似解后, 如果直接对这个解进行误差分析, 可以得到一个整体的误差估计. 而对于以有限元模拟为辅助手段的设计改进而言, 通常都有特别关心的专门设计量, 所有的模拟实验过程都是为检验这个量而服务的. 面向目标的误差估计方法就是专门针对如何准确和经济地估算特定值误差的一种方法. 本文通过线性化简后, 把这种估计方法针对有限元模拟成功实现, 为在实际工程应用中数值实现这种最接近于解决实际问题的方法作了准备.

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引    言

随着计算机技术的迅猛发展, 数值模拟在现代产品设计流程中扮演了越来越重要的角色. 特别是大规模并行计算的发展正促使现代工程领域的研制方式发生一场深刻变革, 即从以试验为主转向以数值模拟为主. 然而, 目前国内外绝大多数产品设计仍然主要依赖于试验(一般是全系统和子系统试验), 数值模拟结果通常并不能直接作为设计依据, 因为在获得试验结果以前分析人员并不能确切地知道其置信度. 显然, 如果能在试验之前就可信地量化数值模拟结果的置信度, 那么数值模拟的价值无疑将大大提升. 需要指出的是, 大规模的数值模拟以及模型修正技术并不能确保高置信度, 数值模拟结果的置信度仍然需要被严格量化. 

而V&V 正是针对无全系统实验结果时的数值模拟置信度进行严格量化的研究, 它的目标就是实现实验前就量化数值模拟结果的置信度. 模型验证与确认(Verification and Validation, 简称 V&V)是严格量化复杂数值模拟结果置信度的系统方法, 其中, 模型验证(Verification)评估数学模型与计算机程序之间的一致性(数学问题), 模型确认(Validation)评估数学模型与真实系统之间的一致性(物理问题), 前者是后者的基础. 数值模拟结果的置信度量化有两种方式: 一种是在试验后直接与试验结果进行比较, 另一种是在试验前利用各种误差和不确定性信息进行推断. 后者常被称为预测置信度评估, 它包含两层含义: 一是在设计空间中若干点上已有试验结果, 需要推断其他设计点上预测的置信度; 二是在全系统以下层次(主要是单元、部组件层次)已有试验结果, 需要推断全系统预测的置信度. 

在评估中, 计算验证主要证明数学模型的离散解有足够的精度. 目前的计算验证应用最广泛的一种方法是基于后处理的误差估计, 它利用后处理过程中的应力磨平计算得到的光滑应力场进行误差计算. 基于后处理的误差估计虽然形式简单、计算量小、便于应用, 但是该方法数学基础不足, 不能保证渐进精确, 对于很多问题精度也不高, 而且是一种整体估计, 不能解决针对专门设计量估计的问题. 

本文主要研究模型验证中计算验证的一种新形式——面向目标的误差估计. 通常对于一个设计而言, 都有一个专门的设计量, 所有的设计都是为这个量而服务的. 如果能针对这个量进行误差估计, 无疑更有实际意义. 这正是面向目标的误差估计的思路, 它是专门针对如何准确和经济地估算特定值误差的一种方法. 本文以下介绍这种方法的数学原理, 讨论并在线性简化下完成其数值实现的方法, 并通过典型算例对其估计精度进行了比较. 

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理论推导与简化

下面介绍一下面向目标的误差估计的理论基础. 采用有限元的泛函描述进行推导, 设 B 为内能, F 为外力功, Q 为关心的设计量, 假设在线弹性情况下, 则有: 

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数值算例

4.1 梁单元误差分布检验 

本节主要计算了梁单元和实体单元两种类型的算例, 分别验证了误差的分布和估计的精度. 第一个算例是检验这个方法的分布性质. 问题如图 1 所示, 为一根悬臂梁, 其截面为矩形, 在梁的中点受一个向下的集中力. 关心的设计量假定是悬臂梁自由端的挠度, 模型采用两个 B31 梁单元建立, 通过 ABAQUS 计算得到 u0 和 p0 的分布结果如图 2和 3 所示. 

可见 u0 和 p0 在两个单元上均有分布, 但是由于右侧的单元2 并未受力, 因此相当于并没有参与模拟悬臂梁自由端的挠度问题, 所以对于设计量误差的单元分布而言, 2 单元应该不起作用. 经过计算, R 的分布结果为 r =1.0×10^-8×[9.468, -0.000], 符合理论推测. 同时, 该悬臂梁挠度的理论解为 4.7619×10^-6 m, 有限元模拟的结果是 4.66443×10^-6 m, 误差是9.747×10^-8 m, 约为 2.05%. 而通过面向目标的误差估计方法估算的误差为 9.468×10^-8 m, 约为 1.99%, 两者差别很小, 在容许范围内. 

4.2 实体单元误差分布检验 

第二个算例是采用实体单元计算的一个悬臂梁问题, 用以检验线性面向目标误差估计算法的精度. 该问题如图 4 所示, 同样是一根左端固支的悬臂梁, 长度为 150 mm, 截面为 2.5 mm×5 mm 的矩形, 在自由端处受向下的集中力 5 N, 无体力, 材料为线弹性, 模量70×10⁹ MPa. 关心的设计量同样是梁自由端的挠度. 模型采用完全积分的实体单元, 分别计算并比较了C3D8 一次单元和C3D20 二次单元的结果. 该问题的理论解为 3.09×10^-3 m. 

首先采用 C3D8 单元进行分析, 由于 C3D8 完全积分单元存在剪切自锁, 不能很好地描述梁的弯曲形态, 如图 5 所示. 同时采用 C3D20 单元进行分析, 由于 C3D20 单元是二次单元, 可以比较好的重现悬臂梁的弯曲形态, 因此得出的结果也比较准确. 这部分的主要模拟和估计结果如下: 

(ⅰ) 有限元(ABAQUS, C3D8, 6 个单元), 计算自由端挠度结果: 2.38×10^-4 m, 误差: 2.85×10^-3 m (92.23%). 

1) 采用C3D8 单元计算p0, 如图6 所示. 计算估计误差: 7.9255×107 m. 由于剪切自锁, 采用一阶完全积分单元计算梁弯曲是非常不准确的, 因此 u0 和 p0 都受到这种计算误差影响, 致使误差分析结果偏离严重. 

2) 采用 C3D20 单元计算 p0, 如图 7 所示. 计算估计误差: 2.80×10^-3 m (98.2%). 由于 p0 计算更准确则误差估计更准确, 因此尝试通过 C3D20 单元得到的较准确 p0 结果去估算 u0 的误差, 以获得更精确的结果, 如图 8 所示. 

(ⅱ) 有限元(ABAQUS, C3D20, 6 个单元). 计算自由端挠度: 3.072×10^-3 m, 误差: 2.13×10^-5 m (0.45%). 如图 9 所示. 采用 C3D20 单元计算出的 p0(见图 7)对 6 个C3D20 单元的仿真结果进行面向目标的误差估计, 结果和单元分布如图 10 所示. 计算估计误差: 2.20 ×10^-5 m (0.525%). 

(ⅲ) 有限元(ABAQUS, C3D8, 24 个单元). 计算自由端挠度结果: 7.67×10^-4 m, 误差: 2.32×10^-3 m (75.18%). 虽然单元网格加密了一倍, 但是采用一阶单元计算梁弯曲仍然是不准确的, 因此这样的网格计算出的 u0, p0 都受到这种计算误差影响, 结果偏离严重, 如图 11 所示. 

1) 采用C3D8 单元计算p0, 计算估计误差: 1.64 ×10^-5 m, 如图 12 所示. 

2) 采用 C3D20 单元计算 p0, 计算估计误差: 2.40×10^-３ m (77.78%), 如图 13 和 14 所示. 

(ⅳ) 有限元(ABAQUS, C3D20, 24 个单元), 计算自由端挠度结果: 3.088×10^-3 m, 误差: 2×10^-5 m (0.648%), 如图 15 所示. 采用 C3D20 单元计算得到的 p0(分布见图 13)代入面向目标的误差估计计算梁自由端挠度的仿真误差, 结果和单元分布如下. 计算估计误差: 1.88×10^-6 m (0.609%), 如图 16 所示. 对整个算例分析部分进行一个小结, 各种情况下的比较结果如表 1 所示. 

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结     论

通过以上比较结果可见, 除了 u0, p0 均使用一阶单元的情况误差估计相差较大外, 无论误差本身的大小, 计算误差限与实际有限元误差相近. u0, p0 均完全无法保证精度时的误差估计量失真属正常情况. 

计算误差分布在梁受力端和固支端有集中, 符合基本原理的推论. 由于实际上在目前实现的线性面向目标误差估计中, 相当于省掉了公式(13)中的第二项, 因此对于估计精度而言还是有一定影响的, 而且无法进行误差估计的范围计算. 但是即使如此, 对于线性的悬臂梁问题, 线性面向目标误差估计还是给出了比较合理的结果. 

对于这种有限元的面向目标估计方法, 目前仅限于在小规模简单问题中实现, 进一步的计算分析, 如非线性和动态计算研究将对其最终走向工程应用产生重大影响. 非线性问题和动态计算都将改变估计计算中能量积分的形式, 对于偶问题的解耦计算带来困难, 如何实现针对此类问题的非解耦面向目标误差估计计算仍有待于进一步的研究. 

#The End #

作者：林治家, 由小川, 庄茁

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编  外

金庸  

（1924年3月10日—2018年10月30日）

飞雪连天射白鹿，笑书神侠倚碧鸳。

 金梁古黄皆已逝，江湖从此无故人。

生亦何欢，死亦何苦。 

扬善除恶，为光明故。

为纪念

一代文豪，一代人的武侠梦。

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来源：安怀信正向设计研发港