动态有限元模型修正中灵敏度分析的迭代LANCZOS方法

引 言

在结构动态有限元数学模型修正、结构动力学修改以及结构动态优化设计中,灵敏度分析是十分重要的 , 也是主要计算工作量所在 , 在保证精度前提下减少灵敏度分析工作量和计算时间 , 具有重要意义。灵敏度分析方法有数值法和解析法两类 。解析法中主要有模态叠加法，Nelson法,截断Lancozs法, 本文对截断Lancozs法进行了改进 , 提出迭代Lancozs法。

截断Lancozs方法

迭代Lancozs法

计算机仿真

为了验证迭代Lancozs方法的精确性和有效性 , 下面以FORK、3D-FRAME两种结构为例进行计算机仿真。

FORK是用来模拟卫星部件的叉形平面结构。表1给出了以第1单元弹性模量为设计参数的第一阶特征向量导数计算结果 。其误差是与Nelson法计算结果的相对误差 , 时间是相对截断Lancozs法的百分比 。

3D-FRAME结构是一个双层三维刚架结构。设计参数为第一单元弹性模量 , 前三阶灵敏度计算结果如表所示:

表中时间比是以满足计算精度而迭代次数最少的计算时间为 。缩 阶方程的阶 数控制在以下 。

由表1，2可见截断Lanczos方法（迭代次数S=0）对方程的缩阶效果不好 。若不进行Lanczos向量重正交 , 就得不到满足精度的解。采用迭代Lanczos方法可有效地降低方程的阶数 。对FORK结构 , 由表1可见 , 迭代9次可将方程降为一阶 , 其计算时间仅为截断Lanczos法的13%。对于第2，3阶或更高阶灵敏度计算 , 迭代Lanczos法也有较好的缩阶效果。对3D-FRAME结构 , 由表2可见迭代5次以上 ,1-3阶灵敏度方程均能在保证精度的条件下有效缩阶 。由于截断Lanczos向量中高阶特征向量占优势 , 因此迭代Lanc法计算高阶灵敏度的效果不如低阶灵敏度 。迭代5次 , 第一阶灵敏度方程阶数降为6阶,第三阶灵敏度方程阶数不能降到50以下。迭代10次 , 第一阶灵敏度方程降为一阶 , 第二、三阶灵敏度方程分别降到8和13阶 。

对于密集模态结构 , 相邻的一些特征值比值接近于1,要满足式(20)必须使r<<i , 采用迭代Lanczos法不能将灵敏度方程缩得很小 , 即使迭代次数较多也是如此 。对于这个问题本文不作讨论 。

结束语

1.本文提出了求解特征向量导数的迭代Lanczos法 , 该法与截断Lanczos法相比 , 在保证计算精度情况下, 灵敏度方程阶数可缩得更低。

2. 通过FORK,3D-FRAM两种结构算例的计算机仿真表明, 迭代Lanczos法是精确有效的 , 比截断Lanczos法计算效率高。

3. 本文推导迭代Lanczos法时虽假定特征值互异 , 对于重特征值情况 , 本方法也适用。

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