【术业有专攻】基于SVR方法的有限元模型确认中不确定性建模研究

朱跃1，张令弥1，郭勤涛2

(1．南京航空航天大学振动工程研究所，2．南京航空航天大学机电学院，南京210016)

前   言

模型确认，是建立在概率统计理论、模糊数学、区间估计方法等信息理论的基础上，对结构系统进行从零件到整机的分层建模和确认试验，对系统中的不确定性进行量化和传递分析，并通过统计意义下的模型修正来校准参数，使用合理的确认准则对计算、试验模型进行评价，最终得到可靠的有限元模型的方法。

该方法是在考虑计算和试验中必然存在的不确定性的基础上进行的(如参数具有概率统计特性)，需要研究不确定性因素(如方差误差)在模型中的正向传递和反向传递，即计算输入参数不确定性对响应特征不确定性的统计影响和由响应特征的不确定性计算输入参数的不确定性，这显然需要多次的有限元计算来完成。

由此，通过借鉴在优化设计和可靠性分析等领域倍受重视的快速运行模型(Meta-Model)建模方法，使用快速运行模型来代替直接的有限元计算模型。基于确定性结构动力学有限元模型的不确定性建模方法，目前最直接的方法是有多项式响应面模型，当模型较为复杂时，多项式拟合模型的代表性较差，所得优化问题的解与实际偏差较大，应用效果不佳。人工神经网络(Artificial Neural Network，ANN)是许多学者关注的可替代响应面模型的快速运行模型建模方法，由于ANN方法较差的泛化性，应用于工程上是毁誉掺半。虽有时具有很高的精度，但是有时其可靠性则受到怀疑。

本文提出基于统计学习理论的支持向量机回归(Support Vector Regression，SVP)方法，以GARTEUR飞机模型作为仿真算例，首先用D最优实验设计方法生成无明显分布规律的样本空间，并选定学习样本空间和检测样本空间；然后在学习样本空间中，分别用支持向量机回归和多项式回归两种方法建立响应面模型；最后内插和外推实验点，利用本文所提出的三级检验标准评价两种方法所建立的模型精度和泛化能力，结果证明了SVR具有优良的建模能力，能够较好地解决有限元模型不确定性分析计算过程中的小样本、非线性、高维数等实际问题。

理论基础

2.1 D最优设计

D最优实验计划是以回归点的最大方差最小作为优化目标的实验计划。与常用的正交实验设计、BBD、CCD、全因子实验设计相比，该实验计划的设计点的选择是自由的，只要求大于饱和点数(待回归多项式系数的总个数)即可，而且在样本空间中无明显分布规律，如图1所示是典型的三因素5阶40点的D最优设计图，可以看出，样本点的分布不对称，也不包括所有顶点，可更有效的评价不同回归模型的精度。

2.2 支持向量机回归方法

基于SVR方法的不确定性建模实现

针对结构有限元模型不确定性建模过程中传统的多项式响应面法存在的函数逼近功能较弱的不足，本文提出了基于SVR方法的不确定性建模，其程序框图如图2所示，一般经过如下几个步骤：

(1)确定样本点。本文采用D最优方法设计实验点，由于实验点的分布没有明显规律，可以用来检验不同方法的回归模型精度。本文采用了SVR和线性回归。两种方法进行比较。

(2)计算样本数据。把样本点代入自行开发的有限元程序中求解响应特征作为学习样本，本文主要把结构的各阶固有频率作为响应特征。

(5)响应面模型的检验。本文引入了三级检验标准对响应面模型进行全面的评价：

①响应面模型的I级检验对学习后建立的响应面模型，在学习样本空间中采用相对均方根误差(Root Mean Squared Error，RMSE)和R2判断系数进行检验，其中：

[0，1]之间取值，值为1表示两者完全一致。

②响应面模型的Ⅱ级检验在学习样本空间内插实验点进行检验，本文主要是用检测样本中的实验点按照RMSE和R2准则响应面精度进行评价，考察内插实验点处的真值和响应面值之间的吻合程度。

③响应面模型的Ⅲ级检验D最优设计空间外推实验点检验，本文主要是用正交实验方法生成另一个设计点空间，把此空间的实验点输入到所建立的响应面模型中按照RMSE和R2准则评价响应面模型的泛化能力。

算例分析

4.1 数据仿真

法国国家航空航天研究院于20世纪90年代设计制造了GARTEUR飞机模型(图3)。该模型被欧洲航空科技组织作为评估试验分析技术与模型修正技术的基准模型。飞机模型翼展2m，机身长1.5m，主体结构为由铝制，机翼上表面有一层含约束的粘弹性阻尼材料，总质量44kg。该模型模拟真实飞机的主要振动模态特征，包含若干密集模态。

采用PATRAN建立有限元模型。有限元模型含74个梁单元，共76个节点、420个自由度。机翼与机身连接、垂尾与平尾连接采用弹簧单元，垂尾与机身连接采用刚性单元。建模过程中存在显著不确定性的6个参数，包括刚性单元长度、机翼的弯曲和扭转刚度、机身的弯曲刚度、垂尾的弯曲刚度，考虑到阻尼材料影响，将机翼的材料密度也作为不确定参数。按照表l所示确定6个不确定参数作为设计变量。

按照D最优原理，对6个参数进行实验设计，考虑到参数的取值范围大小对函数逼近难度的影响，不确定参数样本点都应在归一化的样本空间上，因此样本点方案对不同大小的物理参数设计空间都适用。

实验设计中6因素的阶数为3的饱和点数一般在30～45之间，所以用D最优方法进行了6因素50点的实验设计，对实验点计算得到GARTEUR模型1阶一5阶的固有频率作为样本空间。对样本数据进行预处理。对样本数据中第i阶模态频率可以根据式(5)进行变换处理：经过变换，第i阶大小不同的模态频率可以变化为[一1，1]之间。

4.2  结果分析

从表5~表7中可以看出：

1)支持向量机响应面和幂多项式响应面I级精度都很高，判定系数R2均大于0．999，相对均方根误差RMSE均小于0.1％；

2)两者的Ⅱ级精度均有所下降，向量机响应面的判断系数R2大于0.95，RMSE均小于4％，幂多项式响应面判断系数R2在0．90和0．95之间，RMSE在4％和10％之间，精度明显低于向量机响应面。

3)对Ⅲ级精度而言，两者的精度都较低，向量机响应面的判断系数R2在0．8和0．9之间，RMSE均小于30％，幂多项式响应面判断系数R2在0．5和0．7之间，RMSE均大于50％，可以看出通过正交设计的样本空间来检验响应面模型，支持向量机响应面精度比幂多项式响应面精度要高，所以支持向量机响应面的泛化能力较强。

4)要建立的响应面模型适合不同样本空间，一般用增加样本点的方法建立高阶多项式响应面，或者增加样本点对SVM进行学习，这样必然导致计算量的增加。

结   论

(1)基于支持向量机回归方法，对结构有限元模型确认中的不确定性建模问题进行了研究，与传统的幂多项式响应面比较，本文提出的方法在模型精度和泛化能力方面有所提高，但是用逐级交叉验证的方法确定向量机模型超参数C和核宽度O过程中，由于C搜索空间很大，导致计算效率降低。如何用较好的优化算法来提高效率，将是下一步研究的内容之一。

(2)在样本空间中内插和外推实验点，引入了三级检验标准对建立的响应面模型进行全面评价，在工程应用中响应面模型一般要经过I、Ⅱ级检验，而对于第Ⅲ级检验标准的选择可以根据工程实际情况而定，或者增加样本点计算提高响应面模型的精度和泛化能力。

(3)支持向量机方法在结构有限元模型不确定性建模中的成功应用为模型的不确定性的正向传递计算和反向传递计算开辟了新的途径。

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