典型LC滤波器的频域性能分析

LC滤波器是BUCK电源及其类似电源的输出环节，它是一个典型的二阶环节，我们在前述文章中也有提到，但是分析的不够详细，所以在此通过本文单独分析一下LC滤波器的性能，以便更方便理解BUCK电路的特性。

一.LC滤波器的基本频域分析

LC滤波器的典型原理图如图1，所示，此处的RLOAD用来作为电路的输出负载电阻。RL为电感的寄生串联电阻，Rc为输出电容的寄生串联电阻（或者称之为ESR），这些寄生参数对于电路的某些频域性能有很大的影响，所以不能忽略。

图1 典型LC滤波器的原理图

这个网络输入端电压为Vin，输出端电压为Vout，根据电路分压的基本原理，我们可以推导出电路的频率传递函数，如下图2所示。

图2 LC滤波器的频域传递函数

上面这个传递函数经过推导整理后，可以得到下面图3所示的更为标准的传递函数，可以看出分子上Rc和C形成一个零点，分母上LC构成双极点。

图3 LC滤波器的传递函数标准形式

在这里，假如我们忽略元件寄生参数，Rc和RL,则可以得到更为简化的传递函数，如图4所示，这就是一个简单的二阶环节，它带来180C的相位滞后，同时在转折频率处具有-40db/10倍频率的斜率。除此之外，在这里，我们引出一个重要的概念，就是品质因数Q.

图4 LC滤波器忽略寄生参数的简化传递函数

品质因数是衡量传递函数在转折频率处的增益峰值的，后续我们会通过数学工具来看，其表达式为如下等式定义。

从这个表达式来看，R越大则Q越大，C越大，则Q也越大，但是L越大，则Q越小，基本上是这样的一个变化关系。

二.LC滤波器的Mathcad计算

图5 LC滤波器的参数定义

如图5所示，我们定义LC滤波器的物理参数，这些参数同样取自dsPIC33C的数字电源Startkit3 BUCK电路部分。上图中，我们除了定义L,C及其寄生电阻之外，我们还定义了负载电阻，并且定义了三种不同的负载电阻，方便我们分析负载电阻的不同影响。

图6 不同负载电阻时的Q值变化

从刚刚得到的Q值定义公式来计算，三种负载电阻，3.3ohm，0.33ohm,330hm,分别对应Q,Q1,Q2的值。那么，很容易看到负载电阻最小时，Q值最小为1.044，负载电阻最大时，Q值最大为104，很清楚的得出结论，负载电阻越大，Q值越大。

这里负载电阻越大，则相应的负载电流越小，载越轻，此时Q值越大，说明系统工作在欠阻尼状态。同时，大家可以这么理解，并联大电阻（负载电阻）相当于串联小电阻，而串联的电阻小时（寄生参数），对LC系统的阻尼更小。

从图4所示的标准简化传递函数可知，负载电阻对Q值的影响很大，而对二阶系统的转折频率基本没有影响。

图7 LC滤波器基本转折频率及直流增益计算

在图7中，我们计算了LC滤波器的转折频率，ESR零点的转折频率，及频率为0时的直流增益。可以看到直流增益接近0db。

图8 不同条件的LC滤波器增益曲线

图9 不同条件的增益Bode图求解

G1_LC和G2_LC是传递函数的不同形式，实际上二者是完全相同的。G3_LC是忽略寄生参数的情况对应的最简传递函数。按照图9的定义，我们得到图8的Bode图增益曲线。这里可以得出一个重要结论，就是LC寄生电阻参数越小，则对应Q值越大，如图8中的绿色曲线，其谐振峰值远高于另外两条曲线。

图10 典型增益值计算

在图10中，我们计算了转折频率下，5.033k的增益值，可以看到它为10.098db，高于直流增益，说明LC滤波器的增益是可以放大的，而RC滤波器的增益只能衰减。同时，我们验证了10倍频时，大约50.33k处的增益为-35.872db，接近-40db，这正是LC双极点的作用导致-40db/10倍频的影响，由于50.33k接近ESR零点的频率，所以增益稍小于-40db。

图11 不同条件的LC滤波器相位曲线

同时，我们观察相位曲线变化，图11中对应高Q值的绿色曲线，也就是忽略LC寄生电阻时的传递函数，可以看到相位下掉速度会更快，所以寄生参数对于减缓相位下掉是有帮助的。

接下来，我们讨论一下负载变化对Q值及相位的影响。

图12 不同负载下的LC滤波器Bode图计算

前述我们定义了不同的负载Rload，Rload1，Rload2，三者分别为3.3ohm，0.33ohm，33ohm，我们得到的传递函数增益曲线对比为，如图13所示。

图13 不同负载下LC滤波器的增益曲线

通过曲线，我们看到在转折频率处，负载电阻最小时，0.33ohm时，对应蓝色曲线，谐振峰值最低，此时Q值最小。而电阻最大时，33ohm时，对应绿色曲线，谐振峰值最大，对应Q值最大，这就是负载电阻对LC系统Q值的影响。注意，上述对比分析是基于已经考虑了寄生参数的传递函数。

图14 不同负载下LC滤波器的相位曲线

从图14的相位曲线上看，同样的，蓝色曲线Q值最小，相位掉的最慢，绿色曲线Q值最大，相位掉的最快。

以上分析了寄生参数及负载电阻对LC滤波器系统Q值的影响，在设计中，可以适当考虑它的影响。

三.LC滤波器频域特性的SIMPLIS仿真

图15 LC滤波器的仿真原理图

话不多说，我们直接给出仿真原理图，如图15所示。以上原理图和第二部分计算所采用的参数一致，我们通过更改负载电阻，仿真其小信号传递函数Bode图，通过在输入端施加小信号扰动，通过Bode图测试仪测试从输入端VIN到输出端VOUT的频域传递函数。

图16 负载为3.3ohm时的LC系统Bode图

从典型负载时的Bode图来看，在增益谐振峰值，也就是转折频率处，其增益约为10db。从测量得到的增益最大值，可知峰值也是10db左右。

图17 负载为3.3ohm和0.33ohm的Bode图对比

从图17来看，负载电阻改为0.33ohm后（实线部分），增益曲线变得平滑了很多，相位变化也更慢了，这里说明电阻越小，Q值越小，和前面计算得结论是一致的。

图18 降低LC滤波器的寄生电阻

将LC滤波器的LC的寄生电阻减小为10分之一，重新进行仿真，对比原始状态的Bode图。

图19 降低LC滤波器的寄生电阻后的Bode图仿真结果

从图19的实线部分来看，减小寄生电阻后，LC谐振增益峰值有所增加，Q值变大，相位下掉也更快，如此快的相位180C下掉速度，很可能导致系统在一些频率信号下不稳定。所以，一般建议保持电路适当的阻尼，非常有助于电路稳定。虚线部分为未改LC寄生参数值，且输出负载为3.3ohm典型负载时的状态，此仿真结果和前述计算结果一致。

总结，通过分析和计算典型LC二阶滤波器的电路特性，转折频率，直流增益，寄生参数对Q值的影响，负载对Q值的影响等方面，同时对以上特性进行了SIMPLIS仿真，仿真结论和计算结论一致。以上可以方便加深对LC滤波器特性的理解。