贝叶斯定理(Bayes theorem)确定边坡破坏的概率

1 引言

几年前, 斯坦福大学(Stanford University)的一位统计学女博士在美国四个Casino内赢了大量的钱, 引起了Casino管理方和警方的注意, 怀疑她出老千. 后来在接受访问时, 她说她学的是统计学, 在玩的过程中应用了贝叶斯定理。Casino系统的设计依据的是概率原理, 由于系统设计有问题, 这位女博士利用了系统的缺陷来进行计算推理, 从而击败了系统.

我也曾遇到过一次类似的情况. 2018年回来之前, 为了忘却的纪念去了一趟Casino, 因为国内是禁止Casino的. 第一次我用$5直接赢了$100, 于是使用了最简单的概率原理, 第二次我又用$5直接赢了$100, 不敢玩第三次了,担心Casino来找麻烦. 后来我反复思考这一过程, 觉得是那台机器的系统设计有问题.   

贝叶斯定理在人工智能, 自然语言处理, 经济决策, 医疗卫生和心理学等领域有着广泛的应用. 作为岩土工程的一个应用实例, 本笔记使用贝叶斯定理考虑了边坡安全系数的概率问题. 

2 贝叶斯安全概率

理论上当计算边坡滑动面的安全系数时, 当抗滑力与下滑力的比值大于1时, 认为边坡是稳定的; 当抗滑力与下滑力的比值小于1时认为边坡可能发生滑动. 

在实际工程中, 我们一般首先通过现场勘察和过去的经验确定出一个边坡是不是稳定, 然后通过计算进行验证, 这个处理过程与学术研究的过程正好相反.

(1) E代表边坡边坡绝对稳定的事件; A代表计算安全系数大于1的事件, 在这个事件中, 理论上边坡是稳定的. 通过观察发现安全系数大于1的边坡安全概率 P(A)=0.85, 这意味着85%安全系数大于1的边坡都是稳定的; 

(2) 可靠性假设. 在A条件下, 边坡安全的概率 P(E|A) = 0.80, 这意味着有20%安全系数大于1的边坡也会发生破坏;

(3) 可靠性假设. 另一方面, 通过调查发现一些边坡即使计算的安全系数小于1, 也不会发生破坏, 这种情况下的的概率P(E|A_)=0.10

(4) 因此, 那些绝对稳定的边坡, 安全系数能够大于1的概率为

P(A|E) = P(E|A)*P(A)/[P(E|A)*P(A) P(E|A_)*P(A_)

           =0.8*0.85/[0.8*0.85 0.1*0.15]

           =0.92

这意味着我们认为稳定的边坡也有8%的可能性是安全系数小于1的, 有潜在滑动的危险, 这也从另一方面强调了工程判断力的重要性.

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