断裂产状(Fracture Orientation)的概率密度函数---Fisher分布

1 引言

统计分布的类型与分布参数(平均值、标准差、最小值和最大值）一起定义了随机变量的概率密度函数。概率密度函数描述了一个随机变量对该变量的一组假设的、无限的观测值可能假定的数值分布。在大多数情况下，可用的数据非常有限，无法决定使用什么统计分布和标准差。因此，当定义一个随机变量的概率密度函数时，工程师必须经常依靠 "最佳估计"。

在离散断裂网络DFN模拟中, 一个必须输入的参数是断裂的产状(Orientation). 尽管理论上可以假定许多形式的分布规律, 例如均匀分布, 高斯分布, 幂指数分布等, 但是在岩石工程中广为接受的分布形式是Fisher分布, Fisher分布被合并在工业标准的岩石工程软件DIPS, Swedge, RS2, 3DEC中, 用于断裂统计, 概率稳定性分析以及DFN的生成. 这个笔记简要回顾了GeotechSet中Fisher分布的应用.

2 Fisher分布的定义

Fisher分布是正态分布的三维对称类似物，通常用于模拟围绕均值的给定离散的优先方向(Fisher, 1993)。概率密度函数表示为:

其中，θ为平均向量的角偏差，κ为Fisher常量或离散系数(Dispersion factor)。K值越大,表示数据聚集得越集中.

Fisher分布假设围绕平均数的三维产状是对称分布的，参数Fisher K值或标准差定义分布的变异性。在Rocscience的软件中, Fisher K值和Fisher分布的标准差是相关的，因此使用其中任何一个参数即可。在3DEC中, 只能输入Fisher K值, 当然可以使用FISH语言把标准差转化为Fisher K. 下图所示的是10,000个样本使用Fisher分布,标准差10度产生的节理极点图. 从图中可以看出, Fisher分布的结果是围绕着平均值呈近似圆形分布。

Fisher分布的优点是对于三维方向数据，无论平均值的产状如何，都能产生出一个围绕平均值的对称分布, 统计结果更可靠。

3 3DEC中的Fisher语句

(1) 获取/设置 DFN 模板尺寸类型名称: 可接受的值是 uniform、gauss、powerlaw、bootstrapped、fish、fisher 和 dips。

s = fracture.template.orienttype(template)

fracture.template.orienttype(template) = s

(2) 产生产状的Fisher分布.  3DEC需要输入来自Fisher分布的三个参数: 倾角、倾向和K(kappa)。一个典型的DFN生成语句如下所示:

fracture template create ... 

'DFN example' ... 

orientation fisher (90,120,200) ...

position uniform ...

size power-law 4 ...

size-limit 10 500

4 应用例子

(1) 一个岩体有三组节理, 每组节理的产状,尺寸和P32如下表所示.

根据上述数据产生的UDEC和3DEC模型如下图所示. 注意: Fisher分布仅能在3DEC中使用.

(2)下面这组数据用来在3DEC中产生一个DFN. 这些DFN通过切割初始岩块(Block)来生成离散断裂网络模型。在3DEC中, 切割顺序决定着岩块结构的尺寸，显著影响着最后生成的模型。在这个例子中，首先切割S4, 其次切割与岩体倾角平行的节理组S1，然后切割对应于剪切节理的S2和S3。

(3) 下面所示的岩体有三组节理,  相应的3DEC模型如下图所示.

5 参考文献

[1] Fisher, N. I. Statistical Analysis of Circular Data. Cambridge University Press (1993).

[2] Meyers, A.G. and Priest S.D. (2000). Generating discontinuity orientation data for use in probabilistic models for modelling excavations in rock. In Proceedings Geo Eng 2000, November 2000.

[3] Priest, S.D. 1993. Discontinuity Analysis for Rock Engineering. Chapman & Hall Publication, London. 

[4] Esmaieli, K., et al. (2015). "Capturing the complete stress-strain behaviour of jointed rock using a numerical approach." International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics 39(10): 1027-1044. (pdf)

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