长柱的临界弯曲载荷(Critical Buckling Load)---欧拉(Euler)方程
1 引言
瑞士数学家Leonhard Euler (1707 - 1783)首次研究了细长柱(slender columns)在柱材料弹性极限(elastic limit)内的弯曲行为(buckling behavior)。Euler在1759年提出他所谓的欧拉方程。欧拉方程显示了引起柱弯曲的载荷与柱材料和刚度特性之间的关系。欧拉的柱模型，通常称为完美柱或纯柱(pure column)，这个模型基于如下假设: (1) 柱端是无摩擦的铰接端(pinned end); (2) 柱是完全直的; (3) 荷载沿着中心轴施加; (4) 材料表现为弹性。
根据欧拉方程,可以计算出柱的临界弯曲载荷(Critical Buckling Load)Pcr, 如下式所示:
其中
E---材料的弹性模量;
I---截面的转动惯量;
L---柱的长度;
2 欧拉方程的局限
尽管欧拉方程可以计算柱的临界弯曲载荷, 不过这个公式有一些明显的局限性:
(1) 欧拉方程的临界弯曲载荷与材料的强度没有关系;
(2) 欧拉方程仅适用于因弯曲而破坏的长细柱;
(3) 欧拉方程不包含安全系数;
(4) 欧拉方程计算的压应力远低于材料弹性极限的柱中形成压应力;
(5) 欧拉方程假设柱端是无摩擦的铰接端.
3 有效长度系数
为了考虑柱端点不同的边界条件, 使用了有效长度系数(Effective Length Factor)K这一概念, 因而临界弯曲载荷变成如下的形式:
其中KL为零矩点或沿长度拐点之间的距离, 长度KL称为柱的有效长度, K称为有效长度系数。K按照下图所示的边界条件取值.
<路桥规范>中的取值来自于ACI规范的这个建议值, 不过在ACI规范中,也给出了一个推荐值,如上图所示.
4 细长比
把上式中的Pcr除以截面面积A, 便可以得到柱的弯曲应力, 通过一系列变化, 演化成为下式:
在这里引入了变量r, r是截面关于弯曲轴线的回转半径(radius of gyration of the cross section)。(I = Ar^2), KL/r称为柱的细长比(slenderness ratio)。细柱的回转半径小，粗柱的回转半径大。细长比决定了弯曲破坏的弹性或非弹性模式。细长比小的柱子称为短柱。
(1) 短柱不弯曲,仅发生材料破坏;
(2) 长柱发生上述提及的弹性弯曲(elastic buckling)破坏;
(3) 界于短柱和长柱之间的区域, 发生非弹性弯曲(inelastic buckling)破坏.
关键词: 受压构件; 长柱; Slender;
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