赤平极射投影(Stereographic projection)快速识图和绘制方法

1 引言

地表附近的岩体，其构造地质对边坡或地下开挖稳定性起着关键性作用，因而统计岩石产状数据显得非常重要，不过岩石呈现在离散的三维空间内，为了能够在工程设计中使用这些数据，需要一种分析技术来把三维数据转化为二维数据。赤平极射投影(stereographic projection)技术是这种应用的理想工具。与教材中描述的传统方法不同，这个笔记总结了一种基于实践的赤平极射投影使用方法，给出了大圆图(Great Circle)和极点图(Pole)的快速识图和绘制方法。

2 赤平极射投影

赤平极射投影可以将三维的产状数据在二维空间来表示和分析。赤平极射投影的呈现方式是“降维”，因此线或点可以代表平面，而点可以代表线。赤平极射投影由一个参考球体组成，其赤道平面是水平的，方向相对北方是固定的，立体投影有极点(polar)投影和赤道(equatorial)投影两大类，如下图所示。构造地质学中一般使用赤道网。

在赤道网中又分为两类，一种为等角（Equal Angle)网或称Wulff网，另一种为等面积(Equal Area)网，或者称朗伯特Lambert (Schmidt)网。虽然这两种网都可以用来研究角度关系，但在岩石工程中主要使用等面积(Equal Area)网。在这种网上，参考球体表面上的任何区域被投影后的面积与球体上所在的面积相同，利用这一特性可以绘制极点图的等值线，从而可以找出极点的集中区域，确定优势面方向的数量或者集 合。

3 大圆图(Great Circle)

岩石工程中通常使用下半球进行投影，平面与参考球面的交点是一个圆弧，称为大圆来表示这个平面，这个平面用倾向和倾角来定位。如下图所示。

首先确定倾向，倾向从正东(E)作为0度开始按顺时针方向在圆周上读取出第一个圆弧点，然后在圆周对称的方向读取出第二个圆弧点，按逆时针方向画弧；连接两个点，在圆中心做垂线，在该垂线上确定倾角。圆周上的倾角为0度，圆心的倾角为90度，这意味着倾角越小，投影出的大圆距离圆周越近，倾角越大，大圆距离中心越近。下面通过一个例子来说明如何看立体投影图。在下面的右图中，共有4个平面。目测极点图，可以看出4个平面的倾角dip 从大到小依次为4>3>2>1, 而且第4个平面的倾角是90度，因为这个极点落在圆周上，第3个平面的倾角应该大于45度，第1个平面的倾角应该小于30度；目测投影图，可以看出4个平面的倾向值，第1个平面的倾向约为180度，第2个平面的倾向约为280度，第3个平面的倾向约为90度，第4个平面的倾向一定是180度。

4 极点图(Pole)

在大规模的节理统计中使用极点图比使用大圆图更方便些。极点是平面的法线方向(法向矢量)的径向线穿透参考球体的点,即垂直于平面的线与下半球表面的交点。极点投影的值代表着一个平面完整的产状---倾向和倾角。首先确定倾向，倾向从正南(S)作为0度开始按顺时针方向在圆周上读取，确定出倾向点后与圆心相连即为平面的倾向线。然后在这条直线上确定倾角。倾角圆心为0度，圆周为90度，按等角或等面积方法确定。因此倾角小的平面靠近圆心，倾角大的平面靠近圆周；下图所示的平面倾角50度，倾向150度。