1 引言

露天采矿边坡与土木工程边坡的一个显著区别是露天采矿边坡是由连续的台阶组成,因此台阶的设计对边坡整体稳定性至关重要。在整个设计过程中, 需要使用各种各样的分析方法和软件, 从极限平衡法(SLIDE, Slope/W)到连续性的数值分析(FLAC, FLAC3D, RS2)再到不连续的数值分析(UDEC, 3DEC)。通常使用极限平衡法(条分法)分析整体边坡的稳定性，而台阶的稳定性主要受平面滑动和楔形滑动控制，露天采矿台阶的破坏主要有三种型式: 平面破坏, 楔形破坏和岩石坠落，因此台阶设计(Bench Design)通常以岩石结构数据为基础，因为使用连续性分析方法(例如SLIDE, FLAC)有时会导致安全系数太小, 不能真实地评价台阶的稳定性, 所以基于平面分析(RocPlane)和楔形分析(SWedge)的概率分析方法是最台阶设计最常用的设计方法。《岩石边坡工程课程---平面滑动(Planar Sliding/Wedge)稳定性分析(C7)》已经讨论了平面滑动的分析方法，这一节课讨论楔形滑动(Wedge Sliding)的分析方法。

楔形破坏(Wedge Failure) 是由两组互相切割的节理面形成的破坏模式，一个楔形体由两组节理面，边坡顶面以及边坡面四部分组成，因而形成一个四面体。楔形滑动的计算原理与平面滑动的计算原理相同，只不过计算块体的体积以及力的分解更麻烦一些。

2 简单的教学演示

在通过大量实例照片(采矿工程和土木工程)分析了楔形滑动的原理和计算方法后，给出了一个简单的教学例子，显示如何计算楔形滑动的安全系数。

从上图可以看出，一个楔形体模型由两组节理面，边坡顶面以及边坡面四部分组成。 因此需要输入这四个面的倾角和倾向。

接着需要输入两组节理面的粘结力和内摩擦角以及边坡高度和岩石密度.

楔形体的剪切强度仍然按照Mohr-Coulomb破坏准则计算：

其中，N是作用在滑面上的法向力，l 是滑落面的长度。

粘结力和内摩擦角值可以根据岩体工程分类RMR来近似估计：

通过上面的输入，我们可以计算出楔形体的各种属性值：

楔形体体积=8262.822 m^3

楔形体重量=21483.336 tonnes

节理1的楔形面积=1018.109 m^2

节理2的楔形面积=1026.010 m^2

边坡面的楔形面积=636.542 m^2

边坡顶部的楔形面积=819.726 m^2

节理1的法向力=17140.593 tonnes

节理2的法向力=10523.266 tonnes

楔形体的下滑力=11127.830 tonnes

楔形体的抗滑力=19480.543 tonnes

安全系数=1.751

3 分析工具SWedge

然而，真实的工程计算比上面演示的例子复杂得多，因此我们需要使用专业的分析工具。一个工业标准的楔形滑动分析工具是SWedge[Version 4.009 - April 28 2021]。与RocPlane一样，SWedge能够进行地下水和锚固分析，也能够进行概率性分析。SWedge常与DIPS[利用赤平极射投影进行岩石边坡的运动学分析(Kinematic Analysis)]结合使用。 如果需要了解岩体的应力和应变性能，则必须使用数值模拟软件3DEC。Swedge是一个快速、交互式、简单的分析工具，可来评估岩石边坡表面楔形体的稳定性，楔形体由两个相交的不连续面, 边坡面, 顶部面以及一个可选择的拉伸裂缝组成。Swedge不能计算岩体旋转或倾覆的安全系数。

Swedge有三种计算类型,第一种是确定性分析(Deterministic), 确定性分析假设所有的输入参数都是已知的确定数值; 第二种是概率性分析(Probabilistic), 概率分析考虑了节理产状以及强度值的不确定性, 这就导致了安全系数的分布，从而可以计算出破坏的概率; 第三种是联合分析(Combinations), 联合分析可以输入任意数目的节理产状, Swedge自动分析所有可能的节理组合.

边坡的倾向,倾角,高度,岩石密度是必须输入的参数, 其它参数可以选择性地输入。

两组节理的产状必须输入,剪切强度准则及其相应的参数值必须输入.Swedge提供了三种剪切强度模型: Mohr-Coulomb, Barton-Bandis和Power Curve.

根据上面的输入信息, 进行确定性分析, 得到安全系数0.9886.

4 概率分析基础

由于岩石的空间变异性, 其物理参数和力学参数不可能是一个确定的值, 因此在大多数情况下需要作概率分析. 在概率分析中，通过定义输入参数的统计分布来解释其数值的不确定性。这些参数可能包括节理产状, 剪切强度、地下水位等, 通过不同参数的组合产生出安全系数的分布，从这个分布可以计算边坡的破坏概率。

4.1 抽样

抽样(Sampling Method) 决定了当取样时, 随机输入变量的统计分布方式, 在Swedge中, 提供了两种抽样方法: 一种是Monte Carlo方法;另一种是Latin Hypercube方法. 这两种抽样方法都是利用随机数的序列来产生随机样本。默认的样本数是10,000. 为了进行概率分析，至少有一个输入参数必须被定义为随机变量。蒙特卡洛(Monte Carlo)抽样技术使用随机数从输入数据的概率分布中进行抽样。

正态分布的蒙特卡洛(Monte Carlo)取样(1000个样本)

Latin Hypercube抽样技术的结果与蒙特卡洛抽样技术的结果差不多，但使用的样本较少。该方法基于 "分层 "抽样，在每个层内随机选择, 这使得概率分布的抽样更加平滑。通常，用Latin Hypercube技术获得的1000个样本的分析结果与用蒙特卡洛方法分析5000个样本的结果相当[Hoek et.al.(1995)]。

正态分布的Latin Hypercube取样(1000个样本)

对每个随机变量产生样本数。例如, 如果样本数N=1000，那么将根据每个输入的随机变量的抽样方法和统计分布生成1000个值，然后运行1000次，计算出每组输入数据样本的安全系数。

4.2 随机数

随机数序列是通过指定一个 "种子(Seed) "值，并将这个种子值输入 "随机数生成器 "来生成的。对于一个给定的种子值和一个给定的随机数生成器，总会产生相同的随机数序列。不同的种子或不同的生成器，将产生不同的随机数序列。有两种设定"种子"值的方法, 一种是伪随机(Pseudo-Random )抽样, 另一种是随机(Random)抽样. 

伪随机抽样在概率分析中能够获得可重复的结果。 "伪随机 "抽样意味着总是使用相同的 "种子(Seed)"数来生成输入数据分布采样的随机数, 这将导致每次分析运行时（使用相同的输入参数）对输入数据分布进行相同的采样, 破坏概率、平均安全系数和所有其他分析输出都是可重复的, 这对于演示和实例问题的讨论等都很有用处。也可以通过选择"Specify seed" 自定义种子值而不是使用程序内部的默认值. 每个不同的种子值将产生不同的结果; 而对任何给定的种子值将得到完全相同的结果.  

为了模拟真正的随机分析，可以选择随机(Random)选项。在这种情况下, SWedge将自动生成一个新的种子值(基于计算机的当前时间)，这意味着每次分析将得到不同的结果. 有两种方法产生随机数, 第一种是Park Miller方法, 这种方法能够产生差不多无限的不同随机数(大约2^31)序列. 第二种是Rand方法, 能够产生最大32,768 个不同的随机数.

实际上，选择哪种随机数生成器对SWedge的分析结果几乎没有影响, 两种方法都会产生均匀分布在0到1区间的随机数序列。然而，如果正在产生大量的样本(例如10000个或更多)，应该意识到，Rand生成器最终会开始 "重复 "相同的数值，这可能会使结果产生一些偏差。一般来说，Park Miller v.3的方法更受欢迎，因为生成的不同随机数的序列几乎没有限制。

5 随机生成节理方法

SWedge提供了两种生成节理的方法: 第一种方法基于节理的倾角和倾向Dip/Dip Direction; 第二种方法基于概率密度函数 Fisher Distribution.

5.1 Dip/Dip Direction

如果实际节理产状的分布是不对称的(在立体网上呈椭圆分布）, 那么使用这种方法. 这种方法把倾角和倾向作为一个独立的随机变量处理, 各自赋予一个统计分布，在统计抽样过程中，Dip和Dip Direction的生成值之间不存在相关性。下图是10,000个样本使用正态分布,标准差10度产生的节理极点图. 从图中可以看出, 极点的分布是不对称的椭圆形。

当定义一个随机变量(倾角或倾向)时, 可以使用下面的统计分布:

正态分布 (Normal)

均匀分布(Uniform)

三角形分布(Triangular)

Beta分布(Beta)

指数分布(Exponential)

对数正态分布(Lognormal)

伽马分布(Gamma)

Fisher分布(Fisher)

统计分布的类型与分布参数（平均值、标准差、最小值和最大值）一起定义了随机变量的概率密度函数。概率密度函数描述了一个随机变量对该变量的一组假设的、无限的观测值可能假定的数值的分布。在大多数情况下，可用的数据非常有限，无法决定使用什么统计分布和标准差。因此，当定义一个随机变量的概率密度函数时，工程师必须经常依靠 "最佳估计"。

尽管有多种分布函数可以选择, 但是正态分布是岩土工程统计分析中最常使用的分布方法。因此当不知道一个变量的真实分布时，通常假设为正态分布。通过对变量的最小值和最大值进行最佳估计，可以估计出标准差.

5.2 Fisher Distribution

如果实际节理产状的分布近似圆形，那么使用Fisher分布选项。这种方法将根据Fisher分布随机生成节理。Fisher分布假设围绕平均数的三维产状是对称分布的，只需要输入一个参数Fisher K值或标准差来定义分布的变异性。Fisher K值和Fisher分布的标准差是相关的，因此使用其中任何一个参数即可。也可以从DIPS中输入节理的平均值和Fisher K值. 下图是10,000个样本使用Fisher分布,标准差10度产生的节理极点图. 从图中可以看出, Fisher分布的结果是围绕着平均值呈近似圆形分布。

Fisher分布的优点是对于三维方向数据，无论平均值的产状如何，都能产生出一个围绕平均值的对称分布。一般来说，Fisher分布比Dip/Dip Direction方法更值得推荐，因为数据输入简单，结果更可靠。我们在3DEC和FLAC3D中生成的离散断裂网格就是基于Fisher分布生成的.

当产生节理变量时,优先使用Fisher分布; 如果使用Dip/Dip Direction方法, 优先使用正态分布. 

6 节理剪切强度的随机变量

节理的剪切强度也可以定义为随机变量. SWedge内置了三种剪切强度模型: Mohr-Coulomb, Barton-Bandis 和 Power Curve. 每一种强度模型对应着不同的输入参数,  对于每一种强度模型, 都有两种定义随机变量的方法: 一种是Parameters; 另一种是Strength. 本笔记主要讨论这两种定义随机变量的方法.

6.1 Parameters

如果随机变量(Random Variables)选择Parameters, 那么可以对强度准则中的每一个参数定义一种随机分布, 具体来说, 对Mohr-Coulomb准则定义c 和phi; 对Barton-Bandis准则定义JRC, JCS和phir; 对Power Curve准则定义a,b,c,d.

如果使用Mohr-Coulomb强度模型, 可以定义粘结力和内摩擦角之间的回归系数(Correlation Coefficient). 这个选择只有在使用Mohr-Coulomb准则时才适用,其它两种强度模型不能使用这个选项. 

6.2 Strength

如果随机变量(Random Variables)选择Strength, 那么抗剪强度(tau)将直接被定义为随机变量，而不是将强度准则中的各个参数定义为随机变量。对于一个给定的法向应力，将产生剪切强度的随机值。剪切强度的统计分布只允许采用对数正态分布(Lognormal )和Gamma分布，因为这些分布只定义为正值，因此确保随机生成的剪切强度值总是正值。剪切强度的变异系数(Coefficient of Variation) 等于标准差(standard deviation)除以平均抗剪强度。典型的变异系数值为0.15~0.35.

显然, 使用Strength选项要比使用Parameters选项简单, 输入的参数相对要少. 

7 台阶边坡角

台阶坡面角(Bench Face Angle)BFA由岩石强度、结构以及是否使用控制爆破(最大限度地减少对岩壁的破坏)来决定。BFA可能会在不同的岩石类型和区段中有所不同，但通常在60°至75°之间。根据目前可得到的文献，回顾了两个目前正在运行的矿山:

(1) Mount Polley Mine(Likely, BC, Canada)露天矿长大约1665m, 宽大约845m, 深度80 m到300m, 台阶边坡角为65度到70度. 

(2) Siilinjärvi Mine(eastern Finland) 露天矿长大约2900m, 宽大约750m, 深大约235m, 台阶边坡角72度. 

SWedge包括了这样一个台阶设计功能，允许用户评估台阶角度范围内台阶楔形体的稳定性。为此有两种设计方法可供选择：边坡设计的管理方法和定量危险评估方法。通过使用管理方法，用户能够评估破坏的楔形体数量和每个台阶角度所需的最小台面宽度。而对于定量评估，用户能够估计形成不同楔形尺寸的可能性(发生概率)和这种楔形将滑动的可能性(滑动概率)，从而提供对不同保护(backbreak)距离破坏概率的估计。这两种方法都提供了关于台阶破坏的宝贵信息，帮助用户选择最佳的台阶角度。

为了克服选择台阶边坡角的主观性, Rogers等人(2020) 使用DFN进行了台阶稳定性分析(Bench Scale Stability Analysis), 不过, 这种方法理论上来说可能更精确一些, 但实际操作起来挺困难。在实践中，我们经常使用累积频率分析(CFA),通过可接受的破坏概率来确定台阶的边坡角度.

在露天开采中，在不影响安全的情况下，台阶的坡角尽量设计得大一些, 发生一些小的岩块滑落事故是可以接受的, 定期清理就可以, 这比坡角小但剥采率高更经济。在露天开采设计中，一般接受80%的设计可靠性，这意味着允许20%的楔形体发生破坏。