岩体统计模型---对数正态分布(log-normal distribution)

1 引言

由于岩体在空间上的变异性，选择合适的岩体几何参数和物理力学参数值是岩石工程分析和设计最为挑战性的任务之一，因而基于统计的岩体模型逐渐应用到工程实践中，成为岩石工程风险控制的一种方法。数学上来说，我们可以使用任意的统计模型来描述岩体。当定义一个随机变量时, 通常使用下面的统计分布:

正态分布 (Normal)

均匀分布(Uniform)

三角形分布(Triangular)

Beta分布(Beta)

指数分布(Exponential)

对数正态分布(Lognormal)

伽马分布(Gamma)

Fisher分布(Fisher)

统计分布的类型与分布参数(平均值、标准差、最小值和最大值)一起定义了随机变量的概率密度函数。概率密度函数描述了一个随机变量对该变量的一组假设的、无限的观测值可能假定的数值的分布。大多数情况下，可用的数据非常有限，无法决定使用哪一种统计分布和标准差。因此当定义一个随机变量的概率密度函数时，工程师必须经常依靠 "最佳估计"。

尽管有多种分布函数可以选择, 但是岩土工程统计分析中最常使用的分布方法是正态分布。当不知道一个变量的真实分布时，通常假设为正态分布。通过对变量的最小值和最大值进行最佳估计，从而可以估计出标准差。这种方法经常用于岩土试验数据的分析，包括现场试验数据和实验室试验数据。

除了选择正态分布外，岩石工程经常使用的一种统计分布方法是对数正态分布(log-normal), 地震灾害评价使用的是对数正态分布模型[地震灾害概率分析(PSHA--Probabilistic Seismic Hazard Analysis)]，离散断裂网络的生成也经常使用对数正态分布。下面的公 众 号文章直接或间接地讨论了对数正态分布：

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2 对数正态分布

如果一个随机变量是对数正态分布(Log-normal Distribution), 那么它的自然对数就是正态分布，这就是对数正态这一术语的含义。与指数分布(Exponential Distribution)一样，对数正态分布只能用于始终为正值的变量。对数正态分布的特征是变量在零附近有一个分布的峰值，然后随着数值的增加分布逐渐减少。下图左边所示的是正态分布，右边所示的是对数正态分布(Lognormal probability density functions)。

对数正态分布在边坡稳定性分析的一个应用是计算可靠性指数(Reliability Index)。 可靠性指数是平均安全系数与安全系数标准差的比值。可靠性指数的计算可以假设安全系数结果为正态分布或对数正态分布。一个经验准则是如果可靠性指数大于等于3，即认为边坡是稳定的。

岩体剪切强度的统计分布只能使用对数正态分布(Log-normal )和Gamma分布，因为这些分布定义的值为正值，因此确保随机生成的剪切强度值总是正值。岩体几何特性的统计分布可以使用多种型式，其中对数正态分布是最常用的分布，例如Baecher模型的迹长使用的就是对数正态分布(Veneziano模型的迹长呈指数分布)。当生成离散断裂网格时，节理张开度(aperture)经常使用对数正态分布。

fracture aperture log-normal 0.1 10

(1) 使用FISH语言自定义断裂尺寸为对数正态分布

fish define log_normallaw(mean,sigma)  w=2.0  v1=0.0  v2=0.0  z1=1  loop while w>=1    v1 = 2.0*math.random.uniform-1.0    v2 = 2.0*math.random.uniform-1.0    w = v1*v1+v2*v2  endloop  w=math.sqrt((-2.0*math.log(w))/w)  z1=v1*w;  val=mean+z1*sigma  log_normallaw = math.exp(val)end

(2) 下面的例子使用fracture contact-model命令在所有与断裂相交的接触中安装平滑节理smoothjoint接触模型【离散断裂网络(DFN)[P3]: fracture contact-model；离散断裂网络(DFN)[P4]: 创建一个合成岩体SRM】。首先创建一个球的立方体组合，并使用 contact cmat default 命令安装一个默认的接触模型。然后生成断裂，并为每个断裂分配属性kn、ks和内聚力。平滑节理的接触模型被分配给每个与断裂相交的接触。断裂张开度使用了对数正态分布。

cmat default model linearpbond property kn 1e5ball generate cubicball attribute density 2500.0 damp 0.7; create contacts and assign the linearpbond contact modelmodel clean;Generate fractures using the default templatefracture generate fracture-count 1000;Set the aperturesfracture aperture log-normal 0.1 10fracture property 'sj_kn' 1e5 'sj_ks' 1e-4 'sj_coh' 0; install smoothjointfracture contact-model model 'smoothjoint' install use-aperture