边界元应力分析的发展简史(Boundary Element Analysis)

1 引言

大部分现代数值模拟软件都是基于有限元(RS2,RS3,Plaxis,Sigma/W, GTS NX)、有限体积元(FLAC2D,FLAC3D)和离散元(UDEC,3DEC,PFC)原理发展起来的，除此之外，还有一种目前较少在实践中使用的算法是边界元BEM(Boundary Element Method)。本文简要回顾了边界元在岩土工程和采矿工程中的发展历史。

2 发展简史

边界元在岩土工程中最早的成功应用是Poulos【桩基础分析和设计的杰出人物Harry Poulos (Pile Foundation Analysis & Design)】在1970年代初期的研究工作[Poulos, H.G. (1971) Behavior of laterally loaded piles: I - Pile groups & II - Single piles. J. Soil Mech. Found. Div. 97(SM-5), 711-751.] 在这两篇共计40页的论文中，Poulos提出了一个简化的边界元模型(BEM)预测水平加载单桩和群桩的响应。其中桩的位移由弯矩方程计算，土的位移由Mindlin方法计算，从而获得了一系列设计曲线【水平载荷作用下桩的受力和变形分析方法】，详细讨论参看Poulos的经典著作《桩基础分析和设计》[Poulos, H.G., and Davis, E.H. (1980). Pile Foundation Analysis and Design. John Wiley & Sons, NY, 397p.]。

1980年，Hoek和Brown基于在英国帝国理工学院的研究工作，出版了岩石工程经典著作《岩石地下开挖》[Hoek E.,  E.T. Brown (1980) Underground excavations in rock]。在这本书中，不仅提出了具有划时代意义的Hoek-Brown准则，而且在附录中给出了一个二维边界元应力分析程序，这个源代码使用了直接边界元法。

1983年，美国明尼苏达大学的Crouch出版了一本对采矿岩石力学具有重大贡献的专著《固体力学中的边界元: 在岩石力学和地质工程中的应用》[Crouch S.L., Starfield AM (1983) Boundary element methods in solid mechanics: With Applications in Rock Mechanics and Geological Engineering. 322p.]。在这本书中，不仅系统地阐述了边界元在岩石力学中的应用，更重要的是提出了一种新的边界元方法---间接边界元，即位移不连续方法(Displacement-Discontinuity, DD)。位移不连续方法的初衷是模拟岩体中的不连续，例如断层和节理。

(小插曲) 20世纪80年代末期，联合Hoek-Brown准则和位移不连续法编制了一个用于分析地下采矿矿房围岩的应力分析程序，使用强度应力比评价围岩的应力集中程度【经验的空场设计(Empirical open stope design in Canada)历史回顾】。代码使用Fortran语言编写，在西门子BS-2000操作系统下进行编译。西门子BS-2000操作系统是一个中型工作站，当时中国教育部为了发展国内的计算技术，花巨资在22所研究生院(都是现在的所谓985学校)引进了这种工作站。不过，这种工作站的生命周期非常短暂，随后即被IBM推出的个人计算机8086,80286, 80386代替。

在位移不连续法提出之后，美国国家职业安全与健康研究所(NIOSH)使用DD开发出一个用于预测层状煤矿沉降的数值程序LaModel。不过，这个程序仅在小范围内用于研究使用，没有进行商业推广。

1986年，Dr. Hoek从Golder Associates转到多伦多大学岩石工程组任工业研究教授，和Dr. Curran一起指导发展了一系列工程地质力学软件，即现在Rocscience【岩土工程软件的引领者Rocscience收购NovoTech软件公司】软件的前身，以满足采矿和土木工程行业对更可靠、更易用的二维和三维分析及设计工具的需求，其中就包括使用位移不连续法发展的Examine2D，后来Rocscience在此基础上发展出Examine3D---三维边界元应力分析程序。值得一提的是，Rocscience在V8.0之后停止了Examine2D的开发，我的计算机里还保存着这个二维程序(如下图所示)，已经成为古董和历史；而Examine3D现在正式更名为EX3(最新版本V1.013, 11/25/2021)。

与EX3使用的算法类似，也使用了位移不连续方法，同为加拿大的采矿工程师Dr. Terry Wiles开发了一个在采矿工业广为熟知的应力分析程序MAP3D。不过尽管MAP3D的功能很强，但它的用户界面仍然是至少15年前的开发风格，因此看起来和用起来感觉不舒服。下图所示的是它最新版的用户界面(V67, 3/27/2022)。

此外，UDEC和3DEC仍然保留着边界元命令，通过使用block boundary-elements命令可设置边界元，进行离散元和边界元的耦合分析。

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3 结束语

目前，边界元主要应用在采矿工业的应力分析中，两个代表性的分析程序是MAP3D和EX3。下图所示的使用EX3进行的多条巷道应力分析。左图所示的是位移云图，右图所示的是最小主应力与最大主应力的比值云图。我们将在以后详细分析和讨论EX3在地下采矿中的应用。