地表顶柱稳定性的弹性分析(Elastic Analysis)

1 引言

在【地表顶柱稳定性的刚性分析(Rigid Analysis)】中讨论了顶柱的刚性极限平衡方法，这种分析方法检查了在顶住的支撑点上岩体是否会发生剪切破坏。弹性分析(Elastic Analysis)的破坏模式除了考虑剪切破坏(Shear)外，还考虑了顶柱是否会发生弹性屈曲(Elastic buckling)。在这种分析中，顶柱假设为弹性固定梁或板，其跨度为x和y中较短的尺寸。这种方法可以应用于不同条件下的围压，不过跨度与高度的比值应该大于3，在这种条件下得出的结果相对有意义。

2 剪切安全系数

在弹性分析中，如果弯曲应力较高，那么剪切应力作用的区域会降低。如果约束应力非常低，则剪切安全系数(Shear Factor of Safety)大约是刚性分析的一半。例如在前面的项目中，刚性分析计算的安全系数是1.009，如果改用弹性分析，计算的安全系数为0.549。随着围压的增加，对弯曲的修正系数接近于1。因此在高围压下，使用刚性方法和弹性方法得出的剪切安全系数相同。

3 屈曲安全系数

假设屈曲或弯曲发生在矿柱较长的尺寸上，水平约束应力设定为这个方向的应力。如果𝑥和𝑦的尺寸相等，则弯曲方向由主水平应力大小来决定。屈曲安全系数(Elastic Buckling Factor of Safety)等于屈曲应力除以水平围压，如下式所示：

如果侧向应力很低，弹性屈曲安全系数会很高，使用Voussoir分析方法更合适。弹性屈曲只有在以下情况下才考虑使用:

(1) 水平应力很高；

(2) 跨度与高度比很高；

(3) 岩体弹性模量很低。

4 概率分析

下面进行一个矿柱的弹性概率分析,所有的自由变量均按正态分布处理。矿柱长度10m, 宽度100m, 高度1m, 覆盖层厚度1m, 使用长应力(constant), x和y方向的应力均为2MPa, 标准偏差为0.5MPa, 使用Hoek-Brown强度准则，单轴抗压强度为3MPa, 标准方差为0.5MPa, 材料参数m=0.3，标准方差为0.05，材料参数s=0.0001,岩体模量为5000MPa, 标准偏差为1000MPa。

计算结果显示，在5000个样本中，只有28个样本会发生剪切破坏，没有样本发生屈曲破坏。剪切安全系数FS=2.22,标准方差为0.45，破坏概率PF=0.56%。

5 其它研究

弹性分析把顶柱视为一个弹性板来处理，进入20世纪90年代，除了Carter的经验设计方法不断发展外，其它一些研究者对顶柱进行了更为详细的研究[crown pillar stability.txt]，尤其是使用了数值模拟技术：

[1] Tavakoli (1994) Underground Metal Mine Crown Pillar Stability Analysis(地下金属矿顶柱稳定性分析). 

[2] Dale et al.(1999) Nickel Rim Site Closure Study - Phase I Crown Pillar Stability Investigation.

[3] Hutchinson et al. (2002) Risk considerations for crown pillar stability assessment for mine closure planning(矿山关闭规划中顶柱稳定性评估的风险考虑).

[4] McKinnon et al. (2002) Crown Pillar Design at INCO's South Mine.

[5] Sainsbury (2006) Crown Pillar Subsidence and Hydrologic Stability Assessment for the Proposed Eagle Mine(拟建的的Eagle矿顶柱下沉和水文稳定性评估). 

[6] Nguyen (2019) Determination of the Crown Pillar Thickness Between Open Pit and Underground for Coal Mining(煤矿开采露天和地下之间顶柱厚度的确定).

[7] Chen (2021) Strategies for surface crown pillar design using numerical modelling – A case study(利用数值模拟进行地表顶柱设计的策略--一个案例研究). 

不过在可行性研究和初步设计时，弹性分析仍然可以继续使用，特别是通过概率分析，至少可以给工程师和研究人员建立一个总体印象---A Big Picture.