密铺平面：基于2，φ，ψ，χ，ρ 的12个新的代入镶嵌
本文所涉及的新功能已经在Wolfram语言第12版中发布。可复 制的输入表达式和可下载的笔记本有需要的请联系我们提供。
相似三角形剖分
Wolfram语言第12版引入了几何问题求解器。新函数GeometricScene的参考文档页面有一个巧妙的示例，给出了下面的代码片段，其中GeometricAssertion调用七个相似三角形：
点
的坐标使用塑胶常数
，即
的实根。
(rho)的组合构建了整个三角形，将它放在代数域
。称其为
剖分。标签为n的边长为
。
在笔记本的初始化部分，SqrtRho被定义为由根、用根表示的顶点、子三角形和符号组成的列表。函数dissectionDiagram使用这些值来绘制边长等于
的幂的三角形。
使用初始化部分定义的SqrtSpace求笛卡尔坐标。
皮索数
塑胶常数
是最小的皮索数（Pisot number，大于1且单位圆盘中有共轭元素的实数代数整数）。这是前四个和第九个皮索数，将值显示为外部的点和内部的共轭元素。
第二个皮索数
实数共轭元素
(chi)，其中
这是参考文档中提到的第二个巧妙范例。将多边形分解为相似三角形：
这个解可以被扩展为九个相似三角形。
这些三角形用
构建；被称为
剖分。边长为
，其中
是边的标签。
黄金和超黄金比例
与
和
相关的是黄金比例，在比萨的列奥纳多·波那契1202年的著作《计算之书》（Liber Abaci）中有提到。本书的开始是***数系统
（http://mathworld.wolfram.com/ArabicNumeral.html）。
《计算之书》后面介绍了兔子问题，引出我们现在常说的斐波那契数列。“Fibonacci”这个名字于1838年由“filiusBonacci”或“Bonacci之子”得来。
这显示了斐波那契兔数列及其与黄金比例
（phi）的关系。
1356年，Narayana在他的书Ganita Kaumudi中提出了以下问题：“一头母牛每年生下一头小牛。小牛在三岁时生出另一只小牛。一头奶牛在二十年间产生的后代数量是多少？“
我们可以使用Mathematica来显示Narayana奶牛序列及其与
(psi)的关系，即超级黄金比例（https://en.*********.org/wiki/Supergolden_ratio）。
巴都万（Padovan）数列和佩兰（Perrin）数列中连续项的比率都趋向于，如Fibonacci和Padovan螺旋恒等式（http://demonstrations.wolfram.com/FibonacciAndPadovanSpiralIdentities/）和Padovan的螺旋数（http://demonstrations.wolfram.com/PadovansSpiralNumbers/）所示。这里显示了这两个兔和牛序列：
构造几何图形
黄金比例的幂
、
和 
是开普勒三角形的边长。黄金比例（或称斐波那契兔常数）为皮索数
。通过使用皮索数
（塑胶常数）, 
, 
（超黄金比例）或
，作出120°角的步骤与泰波那契（tribonacci）常数
相同。
几乎所有的正多面体和阿基米德立体都可以通过作用于
上的八面体组或者作用于
上的二十面体组来构建。以下情形除外：
扭棱立方体需要
的一个根（泰波那契常数）。扭棱十二面体需要
的一个根。扭棱三十二面体需要
的元素（未显示）。
这将构建顶点坐标位于给定代数域的前两个扭体。
如果两个根具有相同的判别式（
），则它们通常属于相同的代数域。这是泰波那契常数的两个多项式。
泰波那契常数是多项式奇数系列的一部分，这些多项式将黑格纳（Heegner）数和j函数联系在一起，以多种方式导出极端接近整数（Almost integer）。
白银比例
（http://mathworld.wolfram.com/SilverRatio.html）也会产生有趣的几何形状。如果将A4纸对折，得到的矩形与原始矩形相似。A4矩形可以通过许多奇怪的方式完美地细分为较小的不同A4矩形。值2、
、
和 
都与正方形和相似矩形的剖分有关。
这些剖分都可以在第12版中找到。
的第三个根可以求解圆盘覆盖问题和Heilbronn三角形问题。
无穷级数
目前为止所引入的许多数值都可以表达为自身负幂数的无穷级数。
通过将面积为2的等腰直角三角形剖分成越来越小的相似三角形可以证明第一个级数。或者使用此处所示的相似三角形无限剖分。
的无穷级数也可以用相似三角形的无穷**来说明。
的无穷级数可以用无穷个相似Rauzy分形来说明。
的无穷级数可以用无穷个相似分形来说明。
这是上述值的表格：
重复剖分
实际上这些“自我加和”的无穷级数也有不寻常的自相似三角形剖分，在演示项目Wheels ofPowered Triangles中可以窥豹一斑（http://demonstrations.wolfram.com/WheelsOfPoweredTriangles/）。
重复剖分；为了减少混沌，具有相同方向的三角形颜色相同。这是18步后的剖分。
下面的风车镶嵌（http://demonstrations.wolfram.com/PinwheelTiling/）并没那么无序。风车三角形最终具有无限多个方向，但混沌进展的速度比前面所示的慢。
这是180步后
分形的一部分。
这是40步后塑料分形的一部分。
通过在剖分中使用对称性，结果证明存在具有不同属性的十二个代入镶嵌 (substitution tilings)。
“巧妙范例”确实巧妙，十二个新的代入镶嵌就此产生。
