Mathematica——五形相生

这里要定义的变换函数就是按上文给出的变换顺序，根据一个多面体的顶点坐标生成另一个多面体顶点坐标的函数。正如我们知道的，正多面体除了定点坐标这个几何属性之外，还有很多组合属性。

诸如哪两个顶点组成一条棱，哪几个顶点组成一个面这样的属性不会因为顶点坐标的变化而变化，只要给顶点坐标编号，那些属性就是固定的数据。Mathematica 把这些都存在了 PolyhedronData 这个函数里，我希望能够复用这里面的信息。

这需要做到保证变换函数生成的坐标的顺序与 PolyhedronData 提供的坐标顺序一致：把两组坐标的编号标出后，可以用刚体变换加缩放让这两组编号重合。先定义绘制多边形及各顶点坐标的函数：

然后就可以给出与 PolyhedronData 提供的各个正多面体的顶点编号：

把四面体变换成八面体是很容易的，把各条棱中点连起来即可。不过根据四面体棱的顺序生成的中点编号和八面体编号不一致，这点可以从下图对比标准八面体的顶点编号看出来。红色的就是棱的编号。

这个定义就很简单了，先算出各条边对应的顶点编号并铺平，然后放在定义里：

然后为了对比验证顶点编号和标准多面体一致，需要定义一个按顺序绘制生成坐标点及编号的函数：

对比结果是正确的：

正八面体有十二条棱，每条棱上取一点连起来能组成二十面体，但未必是正二十面体。要得到正二十面体，必须按黄金分割比来取，而且因为比例不是 1/2，所以棱的顶点次序不能任意指定，而要一致。

一致的目标就是给每条棱一个方向，保证每个面上的棱都是首尾相接。为了做到这一点，我就根据十二条棱人工指定了，我想不到特别简洁的用 Mathematica 表述的算法。

按这个顺序生成的顶点次序与标准编号对比如下，所以要根据对照，找出调整后的顺序。

然后就可以定义变换函数：

可以发现现在编号是正确的了：

从正二十面体到正十二面体的变换是很容易的，因为它们互为对偶。把一个正二十面体的面心连起来就是正十二面体了。首先求各面顶点编号：

与标准多面体顶点编号对比：

然后即可根据对比定义变换函数：

验证编号正确性：

这个变换很简单，只要连接正十二面体的八个顶点即可。当然，这样的连接也是很对称的：十二面体的每个面都有一条棱经过，组成立方体的十二条棱。可以直接给出定义：

然后可以验证定点编号：

这就更容易了，和之前的一样，可以直接给出定义：

然后验证顶点编号：

设想中的动画涉及了缩放和旋转。如何选择每个阶段的缩放比例，如何决定旋转的形式，这都需要计算和决策。

从正四边形开始，每个变换都是用内接的方式生成，每个都比原来的小，所以设想中的动画涉及到缩放。问题是我没想好该以什么标准五个正多面体“等大”。棱长相等肯定不是一个选择，体积相等很难感知。

我能想到的就是三个球面的等大：外接球，内切球以及切边球。这三个球面的半径分别是顶点，面和棱到体心的距离。不论选择哪一个，都有一些基本的计算要做。

首先是各个变换下，外接多面体和内接多面体之间，顶点到体心距离的比例：

最大要扩大 1.732 倍，最小的不扩张，它们的乘积刚好是 3，然后再算一下棱中点到体心的距离，首先要定义一个辅助函数：

于是棱中点到体心距离的比例就是：

这个比较均匀，乘积也是 3，然后可以算面心距离的比例：

面心显然是不太合适的，有两次变换的内切球居然相等，要按它缩放，那两次就根本不会变了。最后结论：缩放到棱心距离相等。

设想中，动画的旋转有两种。一种是展示台一般的 360 度绕垂直轴旋转，还有呢则是因为生成的内接多边形可能是歪斜的，不在它们最“典型”的位置上，这需要沿着水平轴旋转到最佳位置。

转到典型位置相对容易计算些，绕垂直轴旋转的难点在于动画的最后一帧要和第一帧能够衔接上，这才能保证循环往复无穷无尽，所以这个垂直的转速就非常有讲究了。让我们先易后难。

在计算前，先要定义一个能显示两重多面体及对应顶点的函数，这样可以通过操控三维图形直观感受旋转该如何计算和选择。

这就是两种嵌套的多面体及其各自的顶点编号：

虽然从某种意义上来讲正多面体是很对称的，但为了展示的需要，在动画的每个阶段都需要把正多面体旋转到一个“正位”。这个旋转只考虑垂直方向，也就是旋转轴垂直于 z 轴的旋转，而不考虑绕 z 轴的旋转。至于正位，只是一个约定而已。

这里约定面为三角形的多面体正位都是顶点朝上，而立方体和正十二面体的正位都是面朝上。下面就是根据这个正位计算旋转的角度，只有正二十面体变换成正十二面体因为是对偶操作，不需要旋转。

立方体的正位就是各条棱与右手正交标架平行，八个顶点坐标很好算：

这样的立方体，棱心距为：

内含四面体的旋转只要把顶点 4 转到朝上即可，旋转角度的余弦值为:

旋转轴向量为：

旋转效果如下：

旋转并放大到棱心距相等后的四面体坐标就是：

可以验证棱心距没有变：

之前变换得到的四面体，顶点 4 朝上，那么根据下图，只要把顶点 2 旋转到朝上就是八面体的正位，旋转角度的余弦值为：

旋转轴向量为：

旋转效果如下：

旋转并缩放后的正八面体顶点坐标为：

可以验证棱心距不变：

之前变换得到的四面体，顶点 4 朝上，那么根据下图，只要把顶点 2 旋转到朝上就是八面体的正位，旋转角度的余弦值为：

旋转轴向量为：

旋转效果为：

旋转并缩放后的正二十面体顶点坐标为：

可以验证棱心距没有变化：

旋转后处于正位的正二十面体顶点 8 朝上。从正二十面体变换到正十二面体是对偶操作，只要正二十面体在正位，那么变换得到的正十二面体也在正位，不需要旋转调整姿势。所以要计算的只是变换后的正十二面体的坐标：

可以验证棱心距并没有变化：

这样得到的对偶多面体，最上一层顶点编号是 1 9 10 14 15。

处于正位的正十二面体 1 9 10 14 15 这个面朝上，而内含的立方体的旋转则是把其中 1 9 18 4 这个面转到朝上即可。旋转到正位的角度余弦值是：

旋转轴向量是：

旋转效果为：

旋转并缩放后的坐标是：

可以验证棱心距并没有变化：

变换后处于正位的立方体和最开始的立方体并不重合，而是有一个角度差。要想动画循环往复，需要观察者或者立方体作水平旋转。该立方体在 x y 平面的投影如下：

歪斜角度刚好是：

所以只要最后观察者少绕 30 度即可。

说到动画这里就要做一下决策和规定了：每次从一个多面体开始到完全变成另一个多面体，这个成为一阶段。每个阶段呢又分为三个小阶段：原多面体一边放大一边变透明，同时内含多面体开始连接棱并放大，到原多面体完全透明消失内含多面体连接完成为一小阶段；内含多面体旋转到正位，与此同时面从透明到半透明为第二小阶段；静置一段时间面从半透明变为不透明是第三小阶段。

在多面体变换时，摄像机镜头将不断围绕多面体，展示其各方面。三个小阶段的时间长短可以任意安排，只有最后一个大阶段的第三个阶段时间是要精心计算的，因为摄像头对准立方体使得图像和第一幅完全一致。所以动画我也打算分两个部分来做：自身的变换和镜头的运动，各自做好后再合在一起。

首先要定义一个根据编号给出外接多面体坐标的函数：

然后要定义一个辅助的线性缩放函数：

最后还需要定义一个绘制多面体各条棱的函数：

有了这三个辅助函数，定义第一个小阶段的动画函数就容易了：

考虑到旋转和放大，绘制范围要尽量找个能包住全部点的，所以得找个距离最大的：

这样绘图就很容易了：

首先要定义五个阶段中需要旋转的角度：

然后是旋转轴向量：

这样就可以定义旋转的动画了：

绘图如下：

第三个小阶段多面体本身并没有变化，所以只要显示变换后的多面体并随时间减少多面体的透明度即可。

三个小阶段的整合可以指定不同小阶段的时长，在这里用比例足矣，整体的时间参数还是在 [0, 1] 区间内。这就需要定义一个反向映射时间参数的函数：

然后就可以开始定义每个阶段的动画函数了：

五个阶段的整合理论上需要指定 15 个时间段，我这里就不做那么细致的调整了，只指定三个。

镜头的运动一方面是为了全方位展示多面体的变换，另一方面是为了能让最后一个镜头和第一个镜头重合起来。所以总共旋转的角度是完整圈数的角度减去 30 度。最后导出成为完整的动图。