穷举法可以解决很多问题，当数据规模变大时，需要一些优化技巧，剪枝就是一个常用手段，穷举+剪枝就是回溯算法了。

数独游戏，一行代码搞定N皇后问题，0.1秒玩胜Matlab之父Cleve Moler的四阶幻方！

在Wolfram Mathematica中处理这类问题很简洁，常用写法是排列组合函数（Tuples、Permutations、Subsets等）配合Select，或者使用列表操作进行迭代，经常两三行就能解决问题。不过也有缺点，这些排列组合函数是一次性生成一个大列表不是惰性求值，数据规模一大甚至会耗尽内存，速度也不一定快。

如果要换一种写法，自然就会想到使用（多重）循环或递归了，Mathematica中循环的效率不算高，但是可以配合编译（Compile）来大幅加速。比起递归，多重循环其实更容易被编译器优化，多数编程语言中，层数很多的循环再层层嵌套If，写起来麻烦，看起来实在感人，可扩展性也差，通常要避免。不过Mathematica具备像LISP中“数据即代码，代码即数据，一切都是表达式”和擅长符号计算等特性，我们可以很方便的进行元编程（Meta-Programming），通过写代码来动态生成代码再编译，从而对程序加速，有时可以接近C语言的速度。

数独是一种数学逻辑游戏，游戏由9×9个格子组成，玩家需要根据格子提供的数字推理出其他格子的数字，需要满足每一行、每一列、每一个粗线宫 （3x3） 内的数字均含1 - 9，不重复。这种游戏只需要逻辑思维能力，与数字运算无关。虽然玩法简单，但提供的数字却千变万化，所以不少教育者认为数独是锻炼脑筋的好方法。

求解数独的方法有很多种，目前网上相关的Mathematica程序，能求全解的速度慢，速度快的基本都是只能得到一个解。而下面这种方法简单粗暴，既可以得到所有的解，速度也还行，要改成只返回一个解的也不难，而且可以进一步编译为C代码加速。

输入数独矩阵，将其中的0（空白处）都替换为符号变量

根据数独的规则，得到约束条件

根据约束条件构造迭代器范围（iterator specification）

创建编译函数并开始计算，这其实相当于一个60层的循环

根据上面的思路，很容易封装一个函数sudokuSolve，求解Project Euler第96题的所有50个数独，耗时约1.5s，求解一个多解数独的全解（有一百多万个解），耗时约15秒。测试电脑CPU为移动端9代i7。

上面的代码还能继续优化，比如有些数独经过转置或反转后算得会更快，有兴趣的读者可以尝试从这个角度改进。

   

N皇后问题

   

八皇后问题，是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型案例。在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法？八皇后问题可以推广为更一般的n皇后摆放问题：这时棋盘的大小变为n×n，而皇后个数也变成n。

追求简洁的话，一行代码就能搞定

Select[Permutations[v = Range@8], And @@ Unequal @@@ {# + v, # - v} &]

然而，随着皇后数量的增多，当n=12时，一般电脑的内存都不够用了

使用迭代的版本，当n=12时，耗时5秒，比之前有进步，但还是不够快

使用多重循环剪枝的版本，当n=15时，只需3.6秒，考虑到对称性减少一些计算耗时2.4秒。简单起见，这里只进行计数，没有收集具体的解，如果要收集所有的解使用Internal`Bag也只需4秒多一点。

   

四阶幻方

   

把1~16的数字填入4x4的方格中，使得行、列以及两个对角线的和都相等，

满足这样的特征时称为：四阶幻方。

幻方的一般性质为：幻方每一行之和、每一列之和、两条对角线之和都相等，都等于幻和(四阶幻和为34)。

求解所有四阶幻方，用全排列搜索空间太大，对16个数全排列有16!=2.09228*10^13种不同情况。根据幻方的性质，可以先求解下面的不定方程，然后再遍历7个变量，这样就减少到 A(16,7) = 16! / 9! = 57657600 种组合，极大缩小了搜索量。

Matlab中有个magic函数，可以方便的生成幻方，但是只能生成单个，要生成所有的四阶幻方，Matlab之父Cleve Moler曾经写过一篇相关的博文并分享有代码 https://blogs.mathworks.com/cleve/2012/11/26/magic-squares-meet-supercomputing/ ，还有一篇相关的论文（https://pdfs.semanticscholar.org/dcdb/c3d9e7e31b14d9f9c1a94d4678258f077917.pdf）也是使用Matlab实现的。

为了简单起见对代码稍作修改，只统计个数，在Matlab R2019a中，使用并行计算耗时约10秒（第一次启动并行工具箱需要等待，计时时已经启动过了）。相应的Mathematica代码为4.4秒。

进行更好的剪枝之后，耗时不到0.1秒。