船舶与海洋工程结构"简单梁分析"进阶：薄壁结构力学

其中 为扭角沿着薄壁杆件轴向的变化率，而 为主扇性坐标（截面几何属性）。可见，当沿着梁轴向不是一个常数时，翘曲w沿着轴向亦不同。即约束扭转是更为普遍的（自由扭转时，翘曲w沿着轴向是不变的）。

接下来笔者通俗地解释一下扇性坐标的概念。想象有一把扇子逐渐从关闭状态打开，扇子的边沿从0点走到s点。我们可以用扇子边缘走过的弧长l来定义s点的位置。我们也可以用扇子打开过程中扫过的面积（的2倍）来定义。这种用绕某一点扫过的面积来确定位置的坐标就是“扇性坐标”，即 , h为计算点到转动点的距离。

梁剖面上存在“扭心”（亦称为剪心），当横向外载荷通过该点时，梁只发生弯曲，不发生扭转。我们把计算时 所用到旋转点取在扭心处，并且称满足条件的扇形坐标 为“主扇性坐标”（即整个截面关于主扇性坐标的静矩为0）。需要注意的是，扭心的位置和主扇形坐标都是剖面的固有几何属性。

对于一个薄壁结构，我们可以用“线”（忽略其厚度）来画出其剖面，后剖面上任意一点的位置都可以由这样的主坐标 来确定。有了 ，就可以定义剖面的扇性惯性矩：。对于薄壁结构，面积微元dA = t ∙ ds。扇性惯性矩亦称为翘曲常数Cw。

后面我们会知道，主坐标在剖面上的分布就代表了某个轴向正应力的分布，这个应力因此命名为“扇形正应力”。这里，关于主扇形坐标的静矩和二次矩的提法，从数学上，和我们平时说的剖面静矩和二次矩的概念是很类似的。我们用整个剖面静矩为0的条件可以得到剖面的“中和轴”位置。类似的，在主扇形坐标中，也存在“扇形零点”（即 的点）

• 1、自由扭转下，开口薄壁杆件剖面产生自由扭转剪应力，并自由翘曲；
• 2、约束扭转下，开口剖面的自由翘曲被约束，发生轴向应变，从而产生扇性正应力，且该应力的在剖面上分布取决于主扇性坐标  
• 3、在沿着轴向的不同位置，薄壁剖面对翘曲的约束程度有所不同，引起翘曲及扇性正应力的变化，并进一步引起杆件的弯曲;
• 4、这种弯曲使得剖面上还将出现二次剪应力   ，该剪力在剖面上形成一个附加二次扭矩。这个二次扭矩将和杆件自由扭转产生的扭矩一起抵抗外力扭矩。

可见，从扭矩的平衡角度，就是要把这个附加二次扭矩是怎么回事搞清楚。我们还是以工字钢为例，下图左侧是其剖面的主扇型坐标 分布，右侧的扇性正应力 分布与其一致。可以看到这个 仅在两个翼板上线性分布，且从两个翼板各自的角度可以理解成两个大小相同，方向相反的弯矩M1=M和M2=-M，它们相距腹板高度H。

类比力偶的概念，我们把这样的弯矩之偶称为“双力矩”，英语上更直观地叫Bi-Moment（公式中简写为B）。显然， 的大小和B有关，其关系有如下公式表达：

其中， 为上面提到的扇性惯性矩（剖面的几何属性）。这个公式直观地表达了扇性正应力在剖面的分布取决于剖面的主扇性坐标，大小取决于双力矩B和扇性惯性矩之比。

其中M为内力弯矩。我们知道，弯矩M沿轴向的梯度就是剪力。类似的双力矩B沿轴向的梯度就是上文提到的“附加二次扭矩 ”。我们也可以从局部微元的角度来理解（教科书的套路），即正应力沿着轴向的变化是靠剪应力平衡的。这里，扇性正应力沿着轴向的变化将产生上文提到的“二次剪应力 ”。而的积分效果就是。

进一步分析可知，因为翘曲被约束而有扇性正应力和二次剪应力的存在，杆件即使仅受外扭矩作用也会发生一定的“弯曲”（如工字钢的两个翼板）。直观来看，杆件通过这种弯曲来产生二次扭矩来帮助整个剖面抵抗外扭矩。

这里需要说明的是，对于梁来说，端部只有一个节点，且其自由度是3个位移 3个转角。传统的梁分析并不包含“翘曲”自由度，在上面梁分析的例子中，如固定端只固定这6个自由度，梁将发生自由扭转。要达到约束扭转效果须用板单元的有限元分析，且单元密度要足够反应的分布，约束端面上所有的节点，单元数和节点数将大幅增加。Dlubal RSTAB在梁分析时，软件可以考虑剖面的翘曲自由度（即第7自由度）。将翘曲自由度也约束后，梁发生发生约束扭转，从图11可见，约束扭转下的扭角将大大小于自由扭转。

图12. 翘曲正应力分布

图.13 二次剪应力分布

图12显示了翘曲正应力的分布，可以看到它与剖面扇性坐标分布一致。从轴向看，在翘曲约束处最大，到自由端为0。的积分效果为上下翼板形成一对方向相反的弯矩，即双力矩B，B也是翘曲约束处最大，到自由端为0。

图13显示了二次剪应力的分布，可以看到它与剖面扇性静矩分布一致。从轴向看，在翘曲约束处最大，距离越远越小。的积分效果为上下翼板形成一对方向相反的剪力，这个对剪力形成附加二次扭矩，也是翘曲约束处最大，距离越远越小。

、、B、都是因为翘曲被约束形成的，而在自由端，工字钢杆件是接近自由扭转状态的，即圣维南扭转。可以把B、、自由扭转形成的扭矩和总扭矩以梁内力的形式画出来，如图14。

图14. B、、自由扭转扭矩和总扭矩图

从图上可以看出，双力矩B和附加二次扭矩是微积分相关的，B的导数就是。附加二次扭矩和自由扭转形成的扭矩之和等于总扭矩。在这个例子中，总扭矩即自由端施加的扭矩（5.00 kNm）。总是在抵抗外力扭矩的。

图15. 等效应力云图

上文中提到了B和的微积分关系，可以隐约感到薄壁分析和传统的弯矩剪力分析存在一定的联系，现今的教材没有对此展开讨论。笔者偶然在图书馆发现一本1965年出版的《开口薄壁杆件的弯曲、扭转与稳定性》一书，书中对此做了比较详尽的讨论，相当经典。这里要向前辈们致敬，更要推荐给大家参考。笔者觉得理解其内容可以帮忙我们进阶简单梁分析的能力。

• 薄壁杆件的约束扭转问题中的扭角与梁复杂弯曲中的挠度V对应；

• 双力矩B与弯矩M对应（扇性正应力和弯曲正应力对应）；

• 总扭矩与总剪力N对应；

• 附加二次扭矩与由横向分布载荷引起的剪力对应；

• 抗扭刚度GT与轴向载荷T对应；

• 扇性抗扭刚度与弯曲刚度对应；

• 扇性坐标与剖面局部坐标y对应。

根据这些相似的对应关系，就可以把薄壁杆件的约束扭转当作梁的复杂弯曲来进行计算。方法是先把约束扭转中的外载荷扭矩m看作复杂弯曲的横向载荷q，再把薄壁构件的抗扭刚度GJ当作复杂弯曲中的轴向拉力T，并设复杂弯曲梁的断面惯性矩为 ，于是在杆长及结构形式不变的情况下，计算梁的复杂弯曲所得到的挠度v加以负号就等于约束扭转的转角，即：

而梁的复杂弯曲的弯矩M和剪力N就是开口薄壁杆件约束扭转中的双力矩B与扭矩 。

按照结构力学所述，一个复杂弯曲梁，如果轴向载荷的数值T不大，梁又有足够的弯曲刚度，则此轴向力对弯曲要素的影响可以略去不计，即当T较小时，可以把复杂弯曲梁当作只受横向载荷的梁来计算其弯曲要素，而不致有很大的误差。这一特点在开口薄壁杆件的约束扭转中也存在。对于所讨论的薄壁构件，如果它的抗扭刚度GJ（相当于复杂弯曲中的轴向力T）很小，则可以将它忽略，即不计扭角微分方程中的项，而把微分方程近似的变为：来计算。这时薄壁杆件的约束扭转就可以与一般的梁的横向弯曲问题相比拟。书中证明，当参数较小时，忽略GJ项所引起的误差亦将很小。

《薄壁结构力学》是对《材料力学》和《结构力学》一个很好的补充。运用“比拟”的方法，结合现代梁系工具计算薄壁剖面的扇性特性，可以快速估算应力中的翘曲应力成分，让简单梁分析更进一步，同样也可以让有限元分析更有针对性。薄壁问题在船舶和海洋工程的规范中也有所涉及，限于本文篇幅，笔者计划下一次再做一期关于薄壁力学的专题，展开讨论。以下是笔者原创的海洋平台强度分析工程师实践进阶课，欢迎订阅和交流。

海洋平台强度分析工程师实践进阶课11讲-掌握海工结构分析 “老法理”和现代规范精髓

1.《开口薄壁杆件的弯曲、扭转与稳定性》陈铁云、陈伯真

2.《薄壁结构力学》陈伯真、胡毓仁

3.《Torsion and Shear Stresses in Ships》Mohamed Shama

（完）