偏微分方程的定解条件_振动_非线性-仿真秀干货文章

偏微分方程的定解条件

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定解条件

偏微分方程描述的是某一类问题的共同规律，所以从数学角度会有无穷多个解。具体到某个物理问题就需要收敛到符合真实物理条件的特定解或唯一解。

具体确定解的物理条件就是定解条件：包括初始条件和边界条件。

以弦振动为例。用手拨动弦和弓拉动弦，发出的声音肯定是不一样的。原因在于初始条件不一样，所以产生的振动也不一样。而振动方程只对弦起作用，而不能描述弦端点的状态。弦端点状态就是边界条件。

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初始条件

偏微分方程描述的是无限时间的问题。而实际物理模型是存在开始和结束时间节点的。

初始条件描述了物理场的初始状态，定义了偏微分方程中某些时刻的值。

一般而言，在稳态问题中，初始值定义不太重要。但非线性问题求解时，定义一个合适的初始值有利于收敛，降低计算难度。而在瞬态问题中，必须要定义准确的初始值。

以热传导问题为例。对稳定状态温度场分析，定义大致的初始温度即可完成计算，且初始温度对最终计算结果无影响。但如果是瞬态随时间变化的温度场，就必须定义准确的初始温度，甚至初始温度变化率。

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边界条件

偏微分方程描述的是无限空间的问题，而实际物理模型是存在有限的求解区域的。

边界条件是求解区域边界上变量或变量导数的变化规律，也称之为约束条件。

狄利克雷边界条件
边界的物理量是明确的。比如某个温度场，边界温度等于273K。
纽曼边界条件
边界的物理量的导数是明确的。比如某个温度场，边界换热系数已知，或边界以固定大小从热源吸收热量。
混合边界条件

相当于上面两种边界条件的叠加。比如某个温度场，环境温度已知，边界换热系数固定。

其他边界条件
比如对称边界，轴对称边界，周期性条件边界等等。可以将实际物理模型适当进行简化。

来源：声学号角

偏微分方程简介

在之前的文章中有提到，客观物理世界中的各种现象，都可以使用偏微分方程来描述。使用比较普遍的是二阶偏微分方程。高阶偏微分方程能通过引入中间变量的方式来退化为二阶偏微分(组)形式。而大部分可以演化为以下最基本的形式：其中ea是质量系数(简单理解可以认为是质量)，da是阻尼系数(简单理解可以认为是阻尼)，β是对流系数(代表外场对因变量影响)，a是吸收系数，f是源项(可以简单理解为激励)。上述表达式代表着局部微元中的守恒关系式。有了最基本的二阶偏微分方程形式，清楚各项的物理意义。通过设定不同的系数，可以得到不同的常用物理场方程。比如，因变量u代表温度T，c=k代表热传导系数，f=0表示无热源，其他各项为0表示无对流等外场作用。这样就得到了最基本的热传导方程——经典的抛物线偏微分方程。(估计这种理论的文章仔细看的人又会很少。当成是个人笔记吧。）来源：声学号角