有源滤波器-Sallen-key拓扑

名字由来及特点

Sallen-key是设计有源滤波器设计的一种拓扑结构，又称塞伦-凯型滤波电路。是VCVS（Voltage-controlled voltage-source）滤波器的变种，由麻省理工学院林肯实验室的R. P. Sallen and E. L. Key 在1955所提出。

Sallen-key拓扑的特点是：

a. 高输入阻抗；

b. 增益容易被配置；

c. 运放被配置为电压跟随（Voltage Follower）模式；

通用 Sallen-key 拓扑

图 1 显示了采用单位增益运算放大器实现的通用单位增益 Sallen–Key 滤波器拓扑。下面的分析基于假设运算放大器是理想的。

图 1 Sallen-key拓扑

因为运算放大器（OA）是在一负反馈配置，根据虚短原则，其 V  = V- 。并且，反相输入端V-直接连接到输出 Vout，所以

根据电流节点方程（KCL）应用于 Vx 节点

通过结合方程式（1）和（2），

在 OA 的非反相输入应用等式（1）和 KCL，可得

意思就是

结合方程式（2）和（3）可得出

重新排列方程式（4）给出传递函数

分支阻抗

通过选择不同的无源元件（例如，电阻器和电容器）Z1， Z2， Z4 和 Z3，该滤波器可以具有低通，带通和高通特性。在下面的例子，回想与电阻器的电阻 R有阻抗 ZR的

并与电容器的电容 C有阻抗 CR的

这里 s = jw = 2πjf（这里 j表示虚数单位）是复 角频率，并且 f 是纯正弦波输入的频率。也就是说，电容器的阻抗与频率有关，而电阻器的阻抗与频率无关。

应用举例

以下图 2、图 3、图 4 分别为 Sallen-key 拓扑下的单位增益低通滤波器、单位增益高通滤波器、放大倍数 G = 1 Rb/Ra 的带通滤波器。

图 2 Sallen-key拓扑的单位增益低通滤波器

图 3 Sallen-key拓扑的单位增益高通滤波器

图 4 Sallen-key拓扑的带通滤波器

其中图 2 给出了单位增益低通配置的示例。此处，运算放大器用作缓冲器，尽管发射级跟随器也很有效。该电路等效于上述通用情况。

该二阶单位增益低通滤波器的传递函数为

‍

或   Q = 1 / (3-Aup)，                                                                                               (6)

此处 Aup 是滤波器的放大倍数，Q 的含义类似于谐振回路的品质因数，故有时称为等效品质因数，也称为滤波器的截止频率系数。不同 Q 值时，压控电压源二阶低通有源滤波电路的对数幅频特性如下图 5 所示：由图可见，Q 值越大，则f = f0 时的 |Au| 值也越大。由式 (6) 可知，若 Q=1，f = f0 的 |Au| = Aup，此时，滤波器既能保持通频带的增益，又能保证高频段幅频特性很快地衰减，同时避免了在 f = f0 处幅频特性产生一个较大的凸峰，因此滤波效果较好。

，

图 5 对数幅频特性

按照 f = f0 附近频率特性的特点，可将滤波器分为巴特沃斯（Butterworth）、切比雪夫（Chebyshev）和贝塞尔（Bessel）三种类型。下图 6 是这三种类型的二阶低通滤波器的幅频特性，他们的 Q 值分别为 0.707、1、0.56。巴特沃斯滤波器的幅频特性无峰值，在 f = f0 附近幅频特性曲线为单调减。切比雪夫滤波器在 f = f0 附近截止特性最好，曲线的衰减斜率最陡。贝塞尔滤波器的过渡特性最好，相频特性无峰值。

图 6 三种类型二阶低通滤波器的幅频特性

关于以上公式的推导在这篇文章中不做详细的说明，有兴趣的同学可以查阅自动控制原理相关细节。果然，上学时候老师说的是对的，有用的课就这几门还不好好学，现在要交学费了。附上一本大学时期的自动控制原理教材，如下图 7，查了下这本书还很贵，官方售价￥42。本***后面会继续更新关于滤波器方面的一些其他内容，欢迎小伙伴一起交流学习，共同进步！

图 7 无标题