浅谈高精度算法

近些年来高精度（空间精度3阶或以上）方法由于数值耗散、色散小，在光滑区域具有精度、分辨率高，能更锐利地捕捉激波和间断等优点成为计算流体力学领域的研究热点。随着高精度数值方法概念的提出和发展，众多学者提出和构造了诸多高精度数值格式，目前高精度方法主要可以分为三大类：有限差分型 (Finite Difference,FD) 高精度方法，有限体积型 (Finite Volume, FV) 高精度方法和有限元型 (Finite Element, FE) 高精度方法。

• 有限差分

有限差分型高精度方法，如高阶紧致有限差分格式和有限差分型WENO格式（WENO-FD），通常为在结构化网格下一种高效而易于实施的高精度格式，由于其计算量小，且易于达到较高数值精度的特点，常用于简单几何区域的复杂流动直接数值模拟，如槽道湍流的数值模拟等问题。

• 有限体积

有限体积型高精度格式可以看成是传统二阶有限体积格式的高阶推广，目前高阶有限体积型格式主要包括k-exact型有限体积格式和有限体积型WENO格式（WENO-FV），这一类型的格式通过选取目标单元及其周围一定数量的邻居单元作为模板，构造满足一定条件的重构高阶多项式来达到高阶精度的目地。这类方法原则上可以处理任意网格和较为复杂的几何区域，能够保证格式的守恒性且具有良好的数值稳定性。然而这一类方法的不足之处在于，其模板通常是非紧致的，即模板不仅包含目标单元及其有公共边的邻居单元，通常还需要包含其邻居单元的邻居单元。这一特点使这一类方法在处理边界和推广应用于高维问题时带来了一定的困难。

• 间断有限元

另一类高精度方法以间断有限元 (DiscontinuousGalerkin, DG) 方法为代表，通过提高相应单元上的解函数多项式的次数，增加相应单元上解函数的自由度 (Degree of Freedom,DoF) 来提高空间精度，基于类似的思想，这一类方法中其他有代表性的方法还包括：谱体积方法 (Spectral Volume, SV)，谱差分方法 (Spectral Difference,SD)，通量重构方法 (Flux Reconstruction,FR)以及最近几年被提出的修正过程重构方法 (Correction Procedurevia Reconstruction, CPR) 。

目前，针对高精度计算格式的研究仍然是计算流体力学研究领域的热点问题之一，高精度格式在应用于实际工程计算中面临一些亟待解决和需要进一步完善的问题，需要进一步探索。

上图为一溪清泉采用DGP2算法计算的圆柱绕流。