计算流体力学大讲堂：第一讲 控制方程

第一讲 控制方程

在经典力学范畴内，任何流体运动的规律都是由以下牛顿三个基本定律为基础的：(1)质量守恒定律；(2)牛顿第二定律：动量定理；(3)能量守恒定律。这三个基本定律可由积分/微分形式的数学方程组来描述。计算流体力学(CFD,Computationnal Fliud Dynamics)的核心任务就是通过数值离散方法把这些方程求解出来，从而得到流场在离散的时间/空间点上的数值解。

一、守恒型控制方程的积分形式和微分形式

连续性方程

动量方程

能量方程

为了使方程封闭，还应补充流体的状态方程。对于完全气体有

微分方程可由积分型方程在考虑到控制体的形状的任意性后导出。上面的积分方程是在控制体在空间固定的特殊情况下得到的Euler型积分方程。Euler型积分方程直观地反映了质量、动量的守恒关系，也称为守恒型积分方程。对守恒型积分方程直接应用Gauss定理，并考虑到控制体形状的任意性后得到的微分型方程称为守恒型微分方程。

二、Navier-Stockes (NS)方程和Euler方程

在直角坐标系下，可压缩NS方程的形式为

其中

如果忽略NS方程中的粘性和热传导，则可得到的Euler方程：

三、非守恒型Euler方程

其中A、B和C对流通量项F、G和H对应的Jacobi矩阵，且

四、守恒型控制方程和非守恒型控制方程的区别

第一，守恒型的NS/Euler方程可以写成守恒形式便于研究数值方法和便于编程。

第二，从理论上讲守恒型方程和非守恒型方程是等价的，但是基于守恒型方程和非守恒型方程的数值求解方法一般是不等价。基于守恒型方程的数值求解方法可以直接用来计算有间断（如激波）的流场，而不用对间断进行任何特殊处理，这种基于守恒型方程的数值方法是一种激波捕捉方法。而基于非守恒型方程的数值方法一般不能正确的计算有激波间断的流场。为了处理有间断的流动，基于非守恒型方程的数值方法必须与激波装配的方法联合使用。

激波装配方法就是把激波从流场中分离出来，当作边界来处理。该方法的优点是可以准确的计算激波的位置，缺点是非常复杂。

激波捕捉方法则非常简单，但是计算出的激波不是理想的间断，而是有几个网格的厚度的大梯度结构，但是采用高精度数值方法诸如有限差分和有限元就可以很准确的捕捉到激波，因而激波捕捉方法得到了广泛的应用。