刘沛清：湍涡的多尺度讨论

湍涡尺度的变幅虽然很宽，但对于稳态的湍流结构，常常是大尺度涡和小尺度涡起控制作用，前者对湍涡起产生作用，后者对湍涡起耗散作用。因此在湍流模式建立中，并不是所有尺度的湍涡都需要模化，而是只模化对动力学方程起控制作用的那些尺度的湍涡结构。为此，人们特别关注两种尺度的涡，一种是与时均流动发生相互作用的大尺度涡结构（large eddies），这类涡通过与时均剪切运动的作用，从时均流动能中源源不断地提取能量以维持湍流的脉动运动。另一种尺度的涡是耗散涡结构（dissipative eddies），这类涡尺度很小，它们通过粘性起耗散湍流脉动动能的作用。这些耗散涡也被认为是维持湍流宏观运动的最小尺度的涡，因为更小尺度的湍涡在强粘性耗散的作用下不可能持续维持。

对于大尺度湍涡，长度尺度可用积分尺度表征，因为积分尺度表征了一个脉动速度强相关性的区域，用lt表征这个积分尺度，用单位质量的湍动动能K的开方根表征速度尺度，即Vt=sqrt（k），这类尺度的大涡也被称为载能涡（energy containing eddies）。对于耗散尺度的涡，柯尔莫哥洛夫认为它们的长度尺度和速度尺度由流体运动粘性系数ν和湍动能耗散率ε决定。在耗散涡尺度下，假设长度尺度为η，速度尺度为v，因受粘性限制，认为质点脉动的惯性力与粘性力同量级，即

通过量纲分析，得到

其中，τ为耗散涡的时间尺度，这些尺度也被称为柯尔莫哥洛夫微尺度。湍动能耗散率ε用微尺度表达为

现在考察大尺度与微尺度之间关系。根据湍动能输运方程

在剪切湍流中，处于局部平衡状态的湍流，要维持湍动能不衰减，在量级上应有

估计，雷诺应力主要由大尺度涡决定，则。时均速度梯度与大尺度涡相互作用得到湍动能产生项，因此时均速度梯度可用大涡尺度来表征。即

这样，在此情况下湍动能的耗散率ε用大涡尺度可表达为

现将ε的大涡尺度表达式代入柯尔莫哥洛夫微尺度中，可以获得大涡长度尺度与小涡长度尺度之间的关系为

式中，Ret为由载能涡尺度表征的湍流雷诺数。同样，大涡速度尺度与小涡速度尺度的关系为

由此表明，大涡和小涡尺度之比是Ret函数，随着Ret的增大，它们之间的尺度宽度更大。

对于脉动速度梯度的尺度，根据湍动能耗散率的定义

脉动速度梯度的尺度可表示为

由此表明，脉动速度梯度可以由柯尔莫哥洛夫微尺度表征，这个与湍动能由小尺度涡耗散的概念是一致，这说明在耗散率中出现的脉动速度梯度是由小尺度涡决定的。根据上面分析，可得到脉动速度梯度与时均速度梯度量级表达式为

为了说明上述尺度的关系，如设Vt=1.46m/s，取不同lt值计算的各尺度关系如表1所示。由表1说明，最小涡的尺度大于保持空气连续流的最小宏观尺度1μm，说明湍流满足连续性条件，湍流是质点宏观运动的结果。而且随着尺度的减小，耗散率迅速增大，如下图所示。如果取耗散涡最小的长度尺度（保持连续性要求）η=1μm，由ηv/ν=1，得到耗散涡最大速度尺度v=14.6m/s，最大耗散率ε=3.1×109 m2/s3。