【流体力学微教材】相似性原理
风流知音【流体力学微教材】相似性原理 CFDBJ(2017)0001 作者：刘沛清
相似性原理
刘沛清
北京航空航天大学航空学院
流体力学模型试验需要通过相似参数建立模型与实物之间的相似关系。历史上，在斯托克斯、瑞利、金汉、弗汝德、雷诺和恩格斯等科学家的不懈努力下建立了建立缩比模型试验和实物实验之间的相似性理论。相似性理论是说明原型和模型物理现象保持相似的定律和条件。是研究自然现象中个性与共性，或特殊与一般关系之间的理论。在模型试验中，只有模型和原型保持相似，才能由模型试验结果推算出原型相应的值。相似理论主要应用于指导模型试验，确定“模型”与“原型”的相似程度、等级等。因而相似性理论在流体力学的试验中至关重要。
1.相似性试验
流体力学实验，一般分为实物实验和模型试验两大类。实物实验(如飞机试飞和导弹实弹发射，各种原型观测实验)不会发生模型和环境模拟失真问题，一直是最后鉴定实物流动特性和观测流场的手段，但实验费用昂贵，实验条件难以控制。而模型试验采用与真实物体几何相似的模型，在人工控制的条件下进行。为使模型试验结果能够应用于实际情况，须使绕模型和绕实物两种流动相似。这样，它们的无量纲流体动力特性才会相同。这就要求在所有相似点上作用于体积元上的同类力具有相同的比值。在流体动力试验中，这些无量纲数的比值称为相似参数。相似参数很多，如马赫数、雷诺数、弗汝德数等。在一项模型试验中，要使所有参数都与真实物体完全相等是难以做到的。但就一项具体的模型试验而言，各相似参数所起的作用有主次之分，要根据试验的目的、要求等具体情况确定需要模拟的相似参数。
为了建立缩比模型试验和实物实验的相似性关系，早在1851年英国力学家与数学家斯托克斯，在几何相似和运动相似的条件下，首先从微分方程组出发提出了动力相似性理论，后来1873年德国科学家亥姆霍兹进一步论证了这一理论。1892年和1904年，英国物理学家瑞利利用量纲分析方法提出了两个流动相似的动力相似性参数。1914年美国物理学家布金汉（E.Buckingham，1867～1940年），基于量纲分析法提出著名的π定理，为相似性试验奠定了坚实的理论基础。1870年弗汝德按水流重力相似准则进行了船舶模型试验。1885年.英国物理学家雷诺利用重力相似准则进行了河口潮汐模型试验，1898年恩格斯（H.Engels）在德国建立了世界上第一座水工试验室，并进行了河道模型试验。
英国力学家与数学家斯托克斯
(George Gabriel Stokes，1819～1903年)
德国流体力学家亥姆霍茲
（Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz，1821～1894年）
英国物理学家瑞利（Rayleigh，1842～1919年）
美国物理学家布金汉（E.Buckingham，1867～1940年）
英国流体力学家弗汝德（William Froude，1810年～1879年)
英国物理学家雷诺(Osborne Reynolds 1842年～1912年）
世界上公认的第一座风洞是由英国工程师韦纳姆(F.H.Wenhan，1824～1908年)于1871年建成，并测量了物体与空气相对运动受到的阻力。该风洞是一座两端开口的木箱，截面45.7厘米×45.7厘米，长3.05米。该风洞用蒸汽机带动风扇高速旋转，产生了时速达65千米的气流，用来设计合理的飞机。风洞实验的结果使人们惊讶发现：高速气流掠过机翼时，可以产生数倍于机翼自身重量的升力，这一发现坚定了人们制造飞机的信念。利用风洞试验研究飞机的造型，标志着人类向往飞行的创造活动由冒险走向科学。后来1901年9月，美国发明家威尔伯·莱特Wilbur Wright和奥维尔·莱特Orville Wright 兄弟俩，自己动手设计了一个小型风洞，以精确测量气流在机翼上产生的升力以及控制板偏转时使飞机转向的力，获得了设计飞机最重要的数据。该风洞试验段截面尺寸为40.6厘米×40.6厘米，长1.8米，气流速度为12米/秒。1902年俄罗斯空气动力学家茹可夫斯基在莫斯科大学建造了一座直径2英尺的风洞。
美国飞机发明家莱特兄弟
（威尔伯·莱特，Wilbur Wright，1867～1912年，左图）和奥维尔·莱特（Orville Wright，1871～1948年）
尼古拉·叶戈罗维奇·茹科夫斯基俄罗斯科学家
（1847年1月17日～1921年3月）
美国发明家威尔伯·莱特WilburWright （1867～1912年，右）和奥维尔·莱特OrvilleWright （1871～1948年，左）兄弟。
2. 相似性理论
相似性理论是说明原型和模型物理现象保持相似的定律和条件。是研究自然现象中个性与共性，或特殊与一般关系之间的理论。在模型试验中，只有模型和原型保持相似，才能由模型试验结果推算出原型相应的值。相似理论主要应用于指导模型试验，确定“模型”与“原型”的相似程度、等级等。相似理论不仅成为物理模型试验依据，而且也成为计算机“仿真”等领域的指导性理论之一。
相似理论从现象发生和发展的内部规律性(数理方程)和外部条件(定解条件)出发，以这些数理方程所固有的在量纲上的齐次性以及数理方程的正确性不受测量单位制选择的影响等为大前提，通过线性变换等数学演绎手段而得到结论。相似理论的特点是高度的抽象性与应用性相结合。相似理论为模拟试验提供指导，确定模型尺度的缩小或放大，参数的提高或降低，介质性能的改变等，目的在于以最低的成本和在最短的运转周期内摸清所研究模型的内部规律性。尽管相似理论本身是一个比较严密的数理逻辑体系，但一旦进入实际应用，在很多情况下，不可能是很精确的。因为相似理论所处理的问题通常是极其复杂的。相似理论中的三个定理赖以存在的基础为：
（1）现象相似的定义；
（2）任意物理现象所涉及的各物理量变化关系受制于各个客观规律，它们不能任意变化；
（3）物理现象中所涉及的各物理量的大小是客观存在的，与所采用的测量单位无关。
如果原型和模型相应各点及时间上对应的各物理量成比例，则两个系统相似。相似数(称为相似比尺、相似系数等)是原型物理量同相应模型物理量之比。主要有几何相似、运动相似、动力相似等比尺。习惯上取长度、时间、质量作为基本物理量，原型和模型中相似数之间的关系称为相似指标。若两者相似，则相似指标为1。由相似指标导出的无量纲量群称为相似判据。
如果两个流动相似，则作为单值性条件相似，作用在这两个系统上的惯性力与其它各力的比例对应相等。在流体力学问题中，若作用于质点上各力满足动力相似，则必须使下列各力间的比例对应相等。例如：
（1） 欧拉数（Eu）表示物体表面压力分布的压强系数，以及升力系数和阻力系数等。物理上，欧拉数表征了压差力与惯性力之比。
（2）弗汝德数（Fr）表示流动惯性力与重力之比，表征水流速度与重力波微波速度之比。
（3）雷诺数（Re）流动惯性力与粘性力之比。
（4）马赫数（Ma）表征惯性力与弹性力之比，是气体可压缩性的度量，通常用来表示飞行器的飞行速度与声波速度之比。
（5）韦伯数（We）表征惯性力与表面张力之比。
（6）斯特劳哈尔数（St）表征对流惯性力与非定常惯性力之比。
在几何相似的前提下，流动现象相似的决定性准则仅为雷诺数准则，则模型试验的动力相似必须遵守雷诺数相似准则。
相似第一定理：两个相似的系统，单值条件相同，其相似判据的数值也相同。
相似第二定理：当任一物理现象由n个物理量的函数关系来表示，且这些物理量中含有m种基本量纲时，则能得到(n-m)个相似判据。
相似第三定理：凡具有同一特性的现象，当单值条件(系统的几何性质、介质的物理性质、起始条件和边界条件等)彼此相似，且由单值条件的物理量所组成的相似判据在数值上相等时，则这些现象必定相似。
这三条定理构成了相似理论的核心内容。相似第三定理明确了模型满足什么条件时，物理现象才能相似，它是模型试验所必须遵循的法则。
在风洞中的相似性试验
刘沛清，男，1982年在华北水利水电大学获学士学位。1989年在河海大学获硕士学位，1995年在清华大学获博士学位。1997年至今，在北京航空航天大学流体所工作。2000年-至今，任教育部流体力学重点实验室责任教授，博士生指导教师。2003年至2012年，任航空科学与工程学院副院长。现任中国空气动力学学会理事，中国力学学会流动显示委员会副主任委员，全国流体力学委员会工业组长。长期从事飞行器空气动力学实验和数值模拟等研究工作。《空气动力学》国家级精品课程负责人，国家级航空航天实验教学示范中心主任，空气动力学学报编委。
